Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phép chiếu song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm $SC$, nằm trong mặt phẳng $(SAC)$. Đường thẳng qua $M$ song song với $AC$ nằm trong $(SAC)$ và cắt $SA$ tại điểm $N$. Trong tam giác $SAC$, đường thẳng qua trung điểm $SC$ song song với $AC$ nên đi qua trung điểm của $SA$ (định lý đường trung bình). Điểm $N$ thuộc $SA$ nên thuộc $(SAD)$, và $N$ chính là hình chiếu của $M$ theo phương $AC$ lên $(SAD)$. Vậy hình chiếu là trung điểm $SA$.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song và bảo toàn tỉ lệ độ dài của các đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song. Trong hình thang $ABCD$ có $AB\parallel CD$ (đáy lớn $AB$) và $AB=2CD$, nên hình chiếu $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$ và $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{AB}{CD}=2$. Vậy $A^{\prime }{B}^{\prime }=2C^{\prime }{D}^{\prime }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8 (trang 29): Hình biểu diễn của lục giác đều qua phép chiếu song song phải thỏa: các cặp cạnh đối song song, ba đường chéo chính đồng quy tại tâm, các cặp đỉnh đối xứng qua tâm. Xét các phương án: A và D là hình lập phương (không phải lục giác); C là hình tròn với lục giác nội tiếp đều — đây là hình thật, không phải hình biểu diễn vì phép chiếu song song biến đường tròn thành elip; B là một elip với 6 đỉnh A, B, C, D, E, F nằm trên elip, các đường chéo AD, BE, CF đồng quy tại tâm O, các cặp cạnh đối song song — đúng là hình biểu diễn của lục giác đều theo phép chiếu song song. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Quan sát Hình 10 (trang 30): a) là hình biểu diễn của hình hộp chữ nhật (các mặt là hình chữ nhật, các cạnh bên song song và bằng nhau); b) có hai đáy là hai tam giác nằm trong hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song nên là hình lăng trụ tam giác; c) có một đỉnh chung nối với bốn đỉnh của đáy, đáy là tứ giác có hai cạnh đối không song song (hình thang) nên là hình chóp có đáy là hình thang. Vậy tên các hình khối lần lượt là: Hình hộp chữ nhật; Hình lăng trụ tam giác; Hình chóp có đáy là hình thang, tương ứng với phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song bảo toàn tính song song: hai đường thẳng song song có hình chiếu là hai đường thẳng song song, hoặc có thể trùng nhau khi mặt chiếu chứa phương chiếu (khi đó mỗi đường thẳng cho một đường thẳng hình chiếu và hai hình chiếu có thể trùng nhau). Do đó đáp án đầy đủ là hai đường thẳng trùng nhau hoặc hai đường thẳng song song.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song bảo toàn tính đồng quy, tính song song, tính thẳng hàng và tỉ số độ dài trên cùng một đường thẳng hoặc các đường thẳng song song. Tuy nhiên hai đường thẳng chéo nhau (không cùng mặt phẳng) khi chiếu song song lên một mặt phẳng có thể cho hai hình chiếu cắt nhau hoặc song song, nên tính chéo nhau không được bảo toàn. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song bảo toàn tính song song và tỉ số độ dài trên cùng một đường thẳng, nên hình chiếu của hình chữ nhật (tứ giác có hai cặp cạnh song song) là một tứ giác có hai cặp cạnh song song, tức là hình bình hành. Hình bình hành đặc biệt có thể là hình chữ nhật hoặc hình thoi (khi góc chiếu thích hợp), nhưng không thể là hình thap (chỉ có một cặp cạnh song song). Vậy hình chiếu song song của hình chữ nhật không thể là hình thap.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: Phép chiếu song song là phép biến hình, bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự giữa các điểm (nếu B nằm giữa A và C thì ảnh B' nằm giữa A' và C').
b) Sai: Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau (trường hợp hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng song song với phương chiếu).
c) Đúng: Phép chiếu song song bảo toàn tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau (tính chất cơ bản của phép chiếu song song).
d) Sai: Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng hoặc một điểm (khi đường thẳng song song với phương chiếu, mọi điểm của nó có chung một ảnh).
a) (AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song bảo toàn thẳng hàng và thứ tự ba điểm: nếu B nằm giữa A và C thì B' nằm giữa A' và C'.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, nên mệnh đề thiếu trường hợp trùng nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đây là tính chất của phép chiếu song song: bảo toàn tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng hoặc một điểm (khi đường thẳng song song với phương chiếu).

(AI giải đề cho tôi)
Xét Hình 5: Hình a) tuy có 4 đỉnh nhưng các cạnh được vẽ sao cho các mặt bị chồng lấn, không phân biệt được mặt nhìn thấy và mặt bị che khuất, nên không phải là hình biểu diễn đúng của tứ diện. Hình b) có một đỉnh nằm bên trong tam giác đáy (không có cạnh bị che khuất được vẽ nét đứt), không thể là hình biểu diễn của tứ diện. Hình c) có 4 đỉnh, 6 cạnh, trong đó các cạnh bị che khuất được vẽ bằng nét đứt, các mặt phân biệt rõ — đây là hình biểu diễn đúng của tứ diện (phép chiếu song song cho phép vẽ các cạnh khuất bằng nét đứt). Vậy hình biểu diễn của tứ diện là hình c).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 17: Có, hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau có thể là hai đường thẳng song song.

Giải thích: Trong phép chiếu song song, tính song song được bảo toàn (hai đường thẳng song song cho hình chiếu song song), nhưng hai đường thẳng chéo nhau thì hình chiếu của chúng có thể là hai đường thẳng cắt nhau, song song hoặc trùng nhau tùy theo phương chiếu.

Ví dụ cụ thể: Xét hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $C^{\prime }{D}^{\prime }$ (chúng nằm trong hai mặt phẳng song song khác nhau nên chéo nhau). Nếu ta chiếu song song theo phương sao cho hình chiếu của $A$ trùng với hình chiếu của $D^{\prime }$ và hình chiếu của $B$ trùng với hình chiếu của $C^{\prime }$ (tức là phương chiếu song song với các đường thẳng $A{D}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$), thì hình chiếu của $AB$ và hình chiếu của $C^{\prime }{D}^{\prime }$ là hai đường thẳng song song (hoặc thẳng hàng) trên mặt phẳng chiếu.

Cách hiểu khác: Vì phép chiếu song song không bảo toàn vị trí tương đối 'chéo nhau' của hai đường thẳng (tính chéo nhau không phải là tính chất được bảo toàn), nên khi chọn phương chiếu thích hợp, hình biểu diễn (hình chiếu) của hai đường thẳng chéo nhau hoàn toàn có thể là hai đường thẳng song song. Điều này cũng chính là lý do khi vẽ hình biểu diễn trong không gian, hai đường thẳng song song trên hình vẽ chưa chắc đã song song trong thực tế — chúng có thể là hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(ABCD)$ theo phương $D{D}^{\prime }$ biến mỗi điểm $M$ thành giao điểm của đường thẳng qua $M$ song song với $D{D}^{\prime }$ (tức song song với các cạnh bên của hình hộp) với mặt phẳng $(ABCD)$.

- Đường thẳng qua $A^{\prime }$ song song với $D{D}^{\prime }$ là $A^{\prime }A$ (vì $A^{\prime }A\parallel D^{\prime }D$), cắt $(ABCD)$ tại $A$. Vậy ảnh của $A^{\prime }$ là $A$.
- Đường thẳng qua $C^{\prime }$ song song với $D{D}^{\prime }$ là $C^{\prime }C$, cắt $(ABCD)$ tại $C$. Vậy ảnh của $C^{\prime }$ là $C$.
- Điểm $B$ đã nằm trên mặt phẳng $(ABCD)$ nên ảnh của $B$ là chính nó.

Do đó ảnh của tam giác $A^{\prime }{C}^{\prime }B$ là tam giác $ABC$ trên mặt phẳng $(ABCD)$. Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng, ba điểm ảnh $A$, $C$, $B$ tạo thành tam giác ảnh của tam giác $A^{\prime }{C}^{\prime }B$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho hình thap $ABCD$ với $AB\parallel CD$, $AB\ne CD$, nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$. Chiếu song song hình thang này lên mặt phẳng $(P)$ theo phương chiếu $d$ không song song với $(\alpha )$, được tứ giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ lần lượt là ảnh của $A,B,C,D$ (như Hình 4.61).

1) Tính song song được bảo toàn: Vì $AB\parallel CD$ nên theo tính chất của phép chiếu song song, hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau). Do phương chiếu $d$ không song song với $(\alpha )$, phép chiếu trên $(\alpha )$ là một phép biến hình, biến bốn đỉnh phân biệt thành bốn điểm phân biệt $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$, và hai đường thẳng cắt không thể có ảnh song song. Vì $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $C^{\prime }{D}^{\prime }$ là ảnh của hai cạnh đối không cắt nhau của tứ giác nên chúng không trùng nhau. Suy ra $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$.

2) Hai cạnh còn lại không song song: Giả sử $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$. Xét phép chiếu ngược (phép chiếu song song từ $(P)$ lên $(\alpha )$ theo cùng phương $d$, cũng là phép biến hình vì $d$ không song song với $(P)$): ảnh của $A^{\prime }{D}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ là $AD$ và $BC$ phải song song (hoặc trùng nhau). Nhưng $AD$ và $BC$ là hai cạnh của tứ giác $ABCD$ nên không trùng nhau; do đó $AD\parallel BC$. Khi đó $ABCD$ có hai cặp cạnh đối song song, tức là hình bình hành, mâu thuẫn với giả thiết $ABCD$ là hình thang (chỉ có một cặp cạnh song song). Vậy $A^{\prime }{D}^{\prime }\nparallel B^{\prime }{C}^{\prime }$.

3) Tứ giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ không suy biến: vì phép chiếu song song theo phương không song song với mặt phẳng hình là song ánh giữa hai mặt phẳng, nên bốn đỉnh $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ phân biệt, không có ba điểm thẳng hàng, tạo thành một tứ giác thực sự.

Kết luận: $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là tứ giác có đúng một cặp cạnh đối song song ($A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$), cặp cạnh đối còn lại không song song, do đó $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là một hình thap. Đpcm.

Lưu ý: Nếu phương chiếu song song với mặt phẳng chứa hình thang thì hình bị chiếu suy biến (thành các đoạn thẳng), nên ta chỉ xét trường hợp phương chiếu không song song với mặt phẳng chứa hình thang như trong Hình 4.61.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là bài tập vẽ hình theo phép chiếu song song. Cách vẽ chung: (1) Vẽ chữ cái phẳng (ví dụ chữ L, N, T) trên lưới ô vuông, đây chính là hình chiếu của chữ nổi lên mặt phẳng. (2) Chọn một phương chiếu $d$ cố định (ví dụ hợp với phương ngang góc $45^{\circ }$, hướng lên–phải hoặc xuống–trái như trong hình minh họa chữ E). (3) Từ mỗi đỉnh của chữ phẳng, kẻ các đường song song với $d$; trên mỗi đường đó lấy một điểm cách đỉnh một đoạn bằng nhau (cùng 'chiều sâu', ví dụ 2 ô lưới). (4) Nối các điểm mới theo đúng thứ tự các đỉnh của chữ phẳng ta được mặt sau của chữ nổi. (5) Nối tương ứng các đỉnh trước – sau, tô đậm các cạnh nhìn thấy và các mặt bên (mặt trên, mặt dưới, mặt đứng) để có dạng 3D. Ví dụ với chữ L: vẽ chữ L gồm các đỉnh $A,B,C,D,E,F$; từ mỗi đỉnh kẻ đường song song $d$ và lấy $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime },E^{\prime },F^{\prime }$ với $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=\dots$; nối $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$; nối các cạnh $B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },D{D}^{\prime },E{E}^{\prime }$ (các cạnh nhìn thấy) rồi tô màu các mặt. Làm tương tự với chữ N và chữ T. Vì bài yêu cầu vẽ hình nên không có đáp án số; lời giải là trình tự các bước vẽ nêu trên, kết quả là hình chữ L, N, T nổi theo phép chiếu song song giống hình minh họa chữ E trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
a) Dùng vectơ: $\overrightarrow{A{I}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{I}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{I{B}^{\prime }}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Vì $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$, $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$ (hai đáy lăng trụ) nên $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$; vì $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$, $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }$ (cạnh bên lăng trụ) nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Do đó $\overrightarrow{A{I}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{I{B}^{\prime }}$. Suy ra $\overrightarrow{A{I}^{\prime }}=\overrightarrow{I{B}^{\prime }}$, tức $A{I}^{\prime }\parallel I{B}^{\prime }$ và $A{I}^{\prime }=I{B}^{\prime }$ (đpcm). (Cách khác: tứ giác $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ là hình bình hành; $I,I^{\prime }$ là trung điểm của $AB,A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{A{I}^{\prime }}=\overrightarrow{I{B}^{\prime }}$ như trên.)

b) Hình chiếu của $C$ theo phương $A{I}^{\prime }$ trên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là điểm $M\in (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ sao cho $CM\parallel A{I}^{\prime }$, tức $CM\parallel I{B}^{\prime }$ (theo câu a).

Cách dựng: Xét mặt phẳng $(\beta )$ đi qua $C$ và đường thẳng $I{B}^{\prime }$.
- $(\beta )\cap (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })=I{B}^{\prime }$ (vì $I,B^{\prime }\in (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $C\notin (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$).
- $(\beta )\cap (ABC)$ là đường thẳng $CI$ (vì $C,I\in (ABC)$).
- Vì $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\parallel (ABC)$ nên $(\beta )\cap (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là đường thẳng $d$ đi qua $B^{\prime }$ và song song với $CI$.

Trong mặt phẳng $(\beta )$, qua $C$ kẻ đường thẳng song song với $I{B}^{\prime }$ (tức song song với $A{I}^{\prime }$); đường này cắt $d$ tại $M$ (hai đường này cắt nhau vì $I{B}^{\prime }$ không song song với $CI$: $I{B}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ cắt $(ABC)$ theo giao tuyến $AB$, còn $CI$ nằm trong $(ABC)$ và không song song với $AB$).

Khi đó $M\in d\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $CM\parallel I{B}^{\prime }\parallel A{I}^{\prime }$. Vậy $M$ là hình chiếu song song của $C$ theo phương $A{I}^{\prime }$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

Tóm tắt cách vẽ: trong mặt đáy $(ABC)$ kẻ đường thẳng $CI$; qua $B^{\prime }$ kẻ đường thẳng song song với $CI$; qua $C$ kẻ đường thẳng song song với $A{I}^{\prime }$; giao điểm của hai đường này là $M$ — hình chiếu cần tìm.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác $S.ABCD$ phải có đỉnh $S$ nối với cả bốn đỉnh $A,B,C,D$ của tứ giác đáy. Xét các hình: ở hình A và B, $S$ nằm giữa và nối với cả bốn đỉnh $A,B,C,D$ của đáy (các cạnh khuất vẽ nét đứt) nên đều là hình biểu diễn hợp lệ của hình chóp tứ giác. Ở hình D, $S$ ở trên và nối với cả bốn đỉnh $A,B,C,D$ (cạnh khuất $AD$ vẽ nét đứt) nên cũng là hình biểu diễn hợp lệ. Riêng ở hình C, điểm $C$ nằm bên trong tam giác $ABD$ và đỉnh $S$ chỉ nối với $A,B,D$ (không có cạnh $SC$ như một đỉnh của đáy), tức là hình vẽ thực chất biểu diễn hình chóp tam giác $S.ABD$ chứ không phải hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Vậy hình không phải là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác $S.ABCD$ là hình C, khớp với đáp án đã cho.

Qua phép chiếu song song theo phương $A^{\prime }A$ lên mặt phẳng $(ABCD)$, ảnh của $A^{\prime }$ là $A$ và ảnh của $C^{\prime }$ là $C$ (do $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$), nên ảnh của đoạn thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là đoạn thẳng $AC$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 10 (Phần I) chọn đáp án B.

Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }A\parallel B^{\prime }B$ và $C^{\prime }C\parallel B^{\prime }B$. Do đó qua phép chiếu song song theo phương $B^{\prime }B$ lên mặt phẳng $(ABCD)$, ảnh của điểm $A^{\prime }$ là $A$ và ảnh của điểm $C^{\prime }$ là $C$. Vậy ảnh của đoạn thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là đoạn thẳng $AC$.