Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phân tích vectơ và chứng minh đẳng thức (Toán học Lớp 10)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1101, Phần II, Câu 3): a) Sai - b) Sai - c) Đúng - d) Đúng.
a) Theo bảng đáp án (Mã đề 1101, Phần II, Câu 3): a) Sai.
b) Theo bảng đáp án (Mã đề 1101, Phần II, Câu 3): b) Sai.
c) Theo bảng đáp án (Mã đề 1101, Phần II, Câu 3): c) Đúng.
d) Theo bảng đáp án (Mã đề 1101, Phần II, Câu 3): d) Đúng. Thật vậy, vì $A{A}^{\prime }$ là đường kính của $(O)$ nên $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$; do $H$ là trực tâm nên $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$, suy ra $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, do đó vế phải bằng $\vec{0}$. Phương trình trở thành $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}-\overrightarrow{NA}=\vec{0}$, tức $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{NA}$. Chọn gốc $A$: gọi $\vec{b}=\overrightarrow{AB},\vec{d}=\overrightarrow{AD},\vec{n}=\overrightarrow{AN}$. Khi đó $\overrightarrow{NC}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{n}$, $\overrightarrow{ND}=\vec{d}-\vec{n}$, $\overrightarrow{NA}=-\vec{n}$. Phương trình: $(\vec{b}+\vec{d}-\vec{n})+(\vec{d}-\vec{n})=-\vec{n}\Rightarrow \vec{b}+2\vec{d}-2\vec{n}=0\Rightarrow \overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Suy ra $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC}$ (vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$). Vậy $\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BN}$, tức điểm $C$ là trung điểm cạnh $BN$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Theo quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ và $GM=\frac{1}{3}AM$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AM=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6$. Suy ra $GM=\frac{6}{3}=2$ và $\left|\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=2GM=2\cdot 2=4$. Vậy độ dài của véc-tơ $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$ bằng $4$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên với mọi điểm $M$: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=3\overrightarrow{MG}$. Do đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MC}=3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IG})+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})=4\overrightarrow{MI}+3\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IC}$. Vì $I$ nằm trên đoạn $GC$ với $IC=3IG$ nên $\overrightarrow{GI}=\frac{1}{4}\overrightarrow{GC}$, tức $\vec{I}=\frac{3\vec{G}+\vec{C}}{4}$, suy ra $3\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IC}=3(\vec{G}-\vec{I})+(\vec{C}-\vec{I})=3\vec{G}+\vec{C}-4\vec{I}=\vec{0}$. Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MI}$ với mọi $M$, tức $x=4$. Khi đó $3x+2024=12+2024=2036$.