Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mệnh đề, phủ định, điều kiện cần/đủ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì với $n=1$, $n(n+1)=2$ không là số chính phương. B sai vì với $n=1$, $n(n+1)=2$ là số chẵn (thực tế $n(n+1)$ luôn chẵn vì hai số liên tiếp). C sai vì trong ba số liên tiếp $n,n+1,n+2$ luôn có một số chẵn nên tích $n(n+1)(n+2)$ luôn chẵn, không thể là số lẻ. D đúng: trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3, do đó tích $n(n+1)(n+2)$ chia hết cho $2\cdot 3=6$ với mọi $n\in \mathbb{N}$. Vậy mệnh đề đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A sai: chia hết cho 5 chỉ là điều kiện cần để chia hết cho 15, không đủ (ví dụ $10$ chia hết cho $5$ nhưng không chia hết cho $15$).
- B sai: tứ giác có hai đường chéo bằng nhau chưa chắc là hình chữ nhật (ví dụ hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau), nên đây không phải điều kiện cần và đủ.
- C sai: $a+b$ hữu tỉ không kéo theo $a,b$ hữu tỉ (ví dụ $a=\sqrt{2},b=-\sqrt{2}$ thì $a+b=0$ hữu tỉ), nên đây không phải điều kiện cần.
- D đúng: điều kiện đủ nghĩa là $a+b>0\Rightarrow$ ít nhất một trong hai số $a,b$ dương. Thật vậy, nếu cả $a\le 0$ và $b\le 0$ thì $a+b\le 0$, mâu thuẫn với $a+b>0$. Vậy mệnh đề D đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A: $\exists n\in \mathbb{N}:3^n<n+3$. Với $n=0$: $3^0=1<3$, mệnh đề đúng.
- B: $1>2\iff 6>7$. Cả hai vế đều sai nên tương đương đúng, mệnh đề đúng.
- C: $6<4\Rightarrow 10>7$. Mệnh đề giả $\Rightarrow$ mệnh đề đúng là mệnh đề đúng.
- D: $\forall x\in \mathbb{R}:(x-2{)}^2<x^2$. Với $x=0$: $(0-2{)}^2=4>0=x^2$, nên mệnh đề sai.
Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với mọi $n\in \mathbb{N}$, xét $n$ chia cho 3 có ba trường hợp: $n=3k$ thì $n^2+1=9k^2+1$ dư 1; $n=3k+1$ thì $n^2+1=9k^2+6k+2$ dư 2; $n=3k+2$ thì $n^2+1=9k^2+12k+5$ dư 2. Vậy $n^2+1$ không bao giờ chia hết cho 3, mệnh đề đúng.
b) $|x|<3\iff -3<x<3$, còn $x<3$ chỉ là điều kiện cần chứ không đủ (ví dụ $x=-4$: $x<3$ nhưng $|x|=4\ge 3$). Vậy hai vế không tương đương, mệnh đề sai.
c) Với $x=1$: $(x-1{)}^2=0=x-1$, nên khẳng định $(x-1{)}^2\ne x-1$ với mọi $x$ là sai.
d) Nếu $n$ chẵn, $n^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 1(\mathrm{mod}4)$; nếu $n$ lẻ, $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. Vậy $n^2+1$ không bao giờ chia hết cho 4, mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xét $n$ theo modulo 3: $n^2+1$ có số dư lần lượt là 1, 2, 2 nên không bao giờ chia hết cho 3. Mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|x|<3\iff -3<x<3$, trong khi $x<3$ rộng hơn (ví dụ $x=-4$ thỏa $x<3$ nhưng $|x|=4\ge 3$). Hai mệnh đề không tương đương, mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=1$ ta có $(x-1{)}^2=0=x-1$, nên khẳng định đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $n$ chẵn thì $n^2+1\equiv 1(\mathrm{mod}4)$; nếu $n$ lẻ thì $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. Không tồn tại $n$ để $n^2+1$ chia hết cho 4, mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 36: a) $2x^2-8=0\iff x=\pm 2\in \mathbb{Z}$, ví dụ $x=2$, nên mệnh đề đúng. b) Thử $n=3$: $3^2+11\cdot 3+2=9+33+2=44=4\cdot 11$ chia hết cho 11, nên mệnh đề đúng. c) Số 5 là số nguyên tố và chia hết cho 5, nên mệnh đề đúng. d) Xét $n$ chẵn: $n^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 1(\mathrm{mod}4)$; xét $n$ lẻ: $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. Vậy với mọi $n\in \mathbb{N}$, $n^2+1$ không chia hết cho 4, mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x^2-8=0\iff x=\pm 2\in \mathbb{Z}$, tồn tại $x=2$ thỏa mãn nên mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $n=3$: $n^2+11n+2=9+33+2=44$ chia hết cho 11, nên mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số 5 là số nguyên tố và chia hết cho 5, nên mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $n$ chẵn thì $n^2+1\equiv 1(\mathrm{mod}4)$; nếu $n$ lẻ thì $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. Vậy không tồn tại $n\in \mathbb{N}$ để $n^2+1$ chia hết cho 4, mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 37: a) Sai vì 2 là số chẵn và là số nguyên tố. b) Sai vì với x=0 thì -x²=0, không thỏa -x²<0. c) Đúng vì 2x²-8=0 ⟺ x²=4 ⟺ x=±2 ∈ ℤ. d) Sai vì 3x²-6=0 ⟺ x²=2 ⟺ x=±√2 là các số vô tỷ, không có nghiệm hữu tỷ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề sai vì số 2 là số chẵn và là số nguyên tố.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề sai vì với x=0 thì -x²=0, không nhỏ hơn 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì 2x²-8=0 ⟺ x²=4 ⟺ x=±2 ∈ ℤ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì 3x²-6=0 ⟺ x²=2 ⟺ x=±√2 là số vô tỷ, nên phương trình không có nghiệm hữu tỷ.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 38: a) Sai vì với x=3, 2x=6 < 9=x^2 (mệnh đề đúng chỉ với 0<x<2). b) Đúng vì 2018=2·1009 không là số chính phương nên √2018 là số vô tỉ. c) Đúng vì 2 là số nguyên tố nhỏ nhất (số nguyên tố phải lớn hơn 1). d) Đúng vì 4·9=36, cả 4 và 9 đều là số chính phương.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai: với x=3 thì 2x=6 < 9=x^2; bất đẳng thức 2x>x^2 chỉ đúng khi 0<x<2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: 2018=2·1009 không là số chính phương nên √2018 là số vô tỉ, không là số hữu tỉ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: 2 là số nguyên tố nhỏ nhất vì số nguyên tố phải lớn hơn 1 và 2 chia hết duy nhất cho 1 và chính nó.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: tồn tại hai số chính phương 4 và 9 với tích 4·9=36.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 40: Xét mệnh đề phủ định của từng mệnh đề.
a) $P$: “Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau” là mệnh đề đúng (tính chất của hình thoi). Phủ định của $P$ là $\overline{P}$: “Hình thoi có hai đường chéo không vuông góc với nhau”. Vì mọi hình thoi đều có hai đường chéo vuông góc nên $\overline{P}$ là mệnh đề SAI.
b) $S$: “$1>-3$” là mệnh đề đúng. Phủ định là $\overline{S}$: “$1\le -3$”, đây là mệnh đề SAI vì $1>-3$.
c) $K$: “Phương trình $x^4-2x^2+2=0$ có nghiệm”. Đặt $t=x^2\ge 0$, ta được $t^2-2t+2=0$ với $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 2=-4<0$, nên phương trình vô nghiệm; do đó $K$ sai. Phủ định của $K$ là $\overline{K}$: “Phương trình $x^4-2x^2+2=0$ vô nghiệm”, đây là mệnh đề ĐÚNG.
d) $H$: “$(\sqrt{3}-\sqrt{12}{)}^2=3$”. Ta có $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ nên $\sqrt{3}-\sqrt{12}=-\sqrt{3}$, suy ra $(\sqrt{3}-\sqrt{12}{)}^2=(-\sqrt{3}{)}^2=3$, tức $H$ đúng. Phủ định của $H$ là $\overline{H}$: “$(\sqrt{3}-\sqrt{12}{)}^2\ne 3$”, đây là mệnh đề SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định là “Hình thoi có hai đường chéo không vuông góc với nhau”. Mọi hình thoi đều có hai đường chéo vuông góc nên phủ định SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định của “$1>-3$” là “$1\le -3$”, sai vì $1>-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x^2\ge 0$: $t^2-2t+2=0$ có $\Delta =-4<0$ nên vô nghiệm. Phủ định “phương trình vô nghiệm” là ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(\sqrt{3}-\sqrt{12}{)}^2=(\sqrt{3}-2\sqrt{3}{)}^2=(-\sqrt{3}{)}^2=3$ nên $H$ đúng; phủ định “$(\sqrt{3}-\sqrt{12}{)}^2\ne 3$” là SAI.

(AI giải đề cho tôi)
P(x): x > 1/x. a) P(1): 1 > 1 sai. b) P(-1/3): -1/3 > -3 đúng. c) Với x=1 ∈ ℕ, P(1) sai nên mệnh đề ∀x∈ℕ, P(x) sai (ngoài ra x=0 làm 1/x không xác định). d) Tồn tại x=2 ∈ ℕ với 2 > 1/2 nên mệnh đề ∃x∈ℕ, P(x) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(1): 1 > 1/1 = 1 là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(-1/3): -1/3 > 1/(-1/3) = -3 là đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì P(1) sai (1 > 1 sai), nên không thể có ∀x∈ℕ, P(x); mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tồn tại x = 2 ∈ ℕ: 2 > 1/2 đúng, nên mệnh đề ∃x∈ℕ, P(x) đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: chọn x=1, y=1 thì x+y=2≠1, nên mệnh đề ∀x,∀y: x+y=1 sai. b) Đúng: tồn tại x=1, y=1 thì x+y=2. c) Đúng: chọn x=1 thì y=1·y đúng với mọi y∈ℝ. d) Đúng: với mọi a∈ℝ, chọn b=a/3 thì a=3b.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì với x=1, y=1 ta có x+y=2≠1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì tồn tại x=1, y=1 với x+y=2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì chọn x=1 thì y=xy với mọi y∈ℝ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì với mọi a∈ℝ, chọn b=a/3 thì a=3b.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định đúng hay sai. a) 'Cố lên, sắp đối rồi!' là câu cảm thán, không phải mệnh đề. b) 'Số 15 là số nguyên tố' là mệnh đề (sai, vì 15 = 3·5). c) 'Tổng các góc của một tam giác là 180°' là mệnh đề (đúng). d) '$x$ là số nguyên dương' chứa biến $x$ chưa xác định, không phải mệnh đề. Vậy có 2 câu là mệnh đề, khớp đáp số 2 của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $A$: "Năm 2019 là năm nhuận" — sai, vì 2019 không chia hết cho 4. Xét $B$: "Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình vuông" — sai, vì tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi, chưa chắc là hình vuông (ví dụ hình thoi có góc $60^{\circ }$, $120^{\circ }$).

- $A\Rightarrow B$: mệnh đề $A$ sai nên $A\Rightarrow B$ đúng (mệnh đề $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai).
- $B\Rightarrow A$: mệnh đề $B$ sai nên $B\Rightarrow A$ đúng.
- $B\iff A$: cả $A$ và $B$ cùng sai nên $B\iff A$ đúng (cùng giá trị chân lý).

Vậy cả ba mệnh đề đều đúng, số mệnh đề sai là $0$. Khớp với đáp số nguồn: 0.

(AI giải đề cho tôi)
Định lý “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau” có dạng $P\Rightarrow Q$ với P: “hai tam giác bằng nhau”, Q: “diện tích bằng nhau”. Khi đó P là điều kiện đủ để có Q (nhưng không phải điều kiện cần, vì hai tam giác khác nhau vẫn có thể cùng diện tích). Vậy mệnh đề đúng là: “Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích chúng bằng nhau”.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ (với P: “Tứ giác $T$ là hình thoi”, Q: “Tứ giác $T$ là hình vuông”) được phát biểu là: “P là điều kiện đủ để có Q” hay “Q là điều kiện cần để có P”. Do đó $P\Rightarrow Q$ nghĩa là “Tứ giác $T$ là hình thoi là điều kiện đủ để $T$ là hình vuông”. Phương án A nói điều kiện đủ của Q (tức $Q\Rightarrow P$), B nói điều kiện cần của P (cũng là $Q\Rightarrow P$), D nói điều kiện cần và đủ. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề $\forall x\in \mathbb{Q},x^2>\frac{1}{x}$ là $\exists x\in \mathbb{Q},x^2\le \frac{1}{x}$: đổi lượng tử $\forall$ thành $\exists$, giữ tập xác định $\mathbb{Q}$ và đổi dấu so sánh $>$ thành $\le$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mệnh đề A và B tương đương ($A⟺B$) khi và chỉ khi chúng có cùng giá trị chân lý: cùng đúng hoặc cùng sai. Xét các phương án:
- Phương án A: "A và B là hai mệnh đề sai" → A và B cùng sai, do đó $A⟺B$ là mệnh đề đúng.
- Phương án B: chỉ biết A đúng, chưa biết B → không kết luận được $A⟺B$.
- Phương án C: chỉ biết B sai, chưa biết A → không kết luận được.
- Phương án D: A và B chỉ có một mệnh đề đúng → chúng khác giá trị chân lý, khi đó $A⟺B$ là mệnh đề sai.
Vậy trường hợp làm mệnh đề "A tương đương với B" đúng là khi A và B cùng sai (hoặc cùng đúng, nhưng không có phương án đó). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề: A: $\pi <-2$ sai và ${\pi }^2<4$ cũng sai (vì ${\pi }^2\approx 9,87>4$), nên hai mệnh đề cùng sai, tương đương đúng. B: $\pi <4$ đúng và ${\pi }^2<16$ đúng (vì ${\pi }^2\approx 9,87<16$), tương đương đúng. C: $\sqrt{23}<5$ đúng (vì $23<25$) nhưng $2\sqrt{23}\approx 9,59<2,5$ sai, nên tương đương sai — mệnh đề này sai. D: $\sqrt{23}<5$ đúng, nhân hai vế với $-2$ (đổi chiều bất đẳng thức) được $-2\sqrt{23}>-10$; thực tế $-2\sqrt{23}\approx -9,59<-2,5$ đúng, nên tương đương đúng. Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A: Nếu $x>3$ thì $x^2>9$ (vì $x>3>0$ nên bình phương hai vế dương giữ nguyên chiều bất đẳng thức). Mệnh đề đúng.
- B: Sai, ví dụ $x=0>-3$ nhưng $0^2=0\ngtr 9$.
- C: Sai, ví dụ $x=-4$ có $x^2=16>9$ nhưng $x<3$.
- D: Sai, ví dụ $x=-4$ có $x^2=16>9$ nhưng $-4<-3$.
Vậy chỉ mệnh đề A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A sai: $2x+1>0\iff x>-\frac{1}{2}$, nên với $x=-\frac{1}{4}$ ta có $2x+1>0$ nhưng $x<0$.
- B đúng: hai tam giác bằng nhau có các cạnh tương ứng bằng nhau, nên diện tích của chúng bằng nhau.
- C sai: nếu $c<0$ thì bất đẳng thức đổi chiều. Ví dụ $a=2>b=1$, $c=-1$ thì $a.c=-2<b.c=-1$.
- D sai: tứ giác có hai đường chéo vuông góc chưa chắc là hình thoi (cần thêm hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm); ví dụ một hình thang có hai đường chéo vuông góc nhưng không phải hình thoi.
Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\sqrt{6}$ là số vô tỉ (6 không là số chính phương), nên mệnh đề '$\sqrt{6}$ không phải là số vô tỉ' SAI. b) $\Delta =3^2-4\cdot 5=9-20=-11<0$ nên phương trình $x^2+3x+5=0$ vô nghiệm trên $\mathbb{R}$, mệnh đề ĐÚNG. c) Đồ thị $y=x^2$ là parabol có đỉnh $O(0;0)$, mệnh đề ĐÚNG. d) Tích hai số: $\sqrt{7+\sqrt{48}}\cdot \sqrt{7-\sqrt{48}}=\sqrt{49-48}=1$, và cả hai số đều dương, nên chúng là hai số nghịch đảo của nhau, mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sqrt{6}$ là số vô tỉ vì 6 không là số chính phương, nên khẳng định '$\sqrt{6}$ không phải là số vô tỉ' là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =9-20=-11<0$ nên phương trình vô nghiệm trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=x^2$ là parabol đỉnh $O(0;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tích hai số bằng $\sqrt{49-48}=1$ và cả hai đều dương, nên chúng nghịch đảo của nhau.