Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khoảng biến thiên và IQR mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

Tần số tích lũy: 5; 15; 24; 28; 30 với $n=30$.
• Ta có $\frac{n}{4}=7,5$. Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có TSTL $\ge \frac{n}{4}$: $$Q_1=100+\frac{7,5-5}{10}.50=\frac{225}{2}$$
• Ta có $\frac{3n}{4}=22,5$. Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có TSTL $\ge \frac{3n}{4}$: $$Q_3=150+\frac{22,5-15}{9}.50=\frac{575}{3}$$
• Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=\frac{475}{6}\approx 79,2$

Tìm $Q_1:Q_1-7+\frac{12.5-6}{9}.(8-7)\approx 7.722$. Tìm $Q_3:Q_3-9+\frac{37.5-35}{15}.(10-9)\approx 9.167$. Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1-9.167-7.722-1.445\approx 1.45$. (Ghi chú: bản gốc in dấu trừ trong công thức ${\Delta }_Q$; về toán học ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9.167-7.722=1.445\approx 1.45$.)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=50$. Vị trí tứ phân vị: $\frac{n}{4}=12,5$ và $\frac{3n}{4}=37,5$.

Tần số tích lũy: $1;6;15;35;50$.

- $Q_1$ thuộc nhóm $[7;8)$ (vì $6<12,5\le 15$):
$$Q_1=7+\frac{12,5-6}{9}\cdot 1=7+\frac{6,5}{9}\approx 7,7222.$$

- $Q_3$ thuộc nhóm $[9;10)$ (vì $35<37,5\le 50$):
$$Q_3=9+\frac{37,5-35}{15}\cdot 1=9+\frac{2,5}{15}\approx 9,1667.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 9,1667-7,7222=1,4444\approx 1,44.$$

Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$. Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=5$, nhóm chứa giá trị thứ 5 là $[3,0;3,5)$ (cumulative 3, 8). Vậy $Q_1=3,0+\frac{0,5(5-3)}{5}=3,2$. Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=15$, nhóm chứa giá trị thứ 15 là $[4,0;4,5)$ (cumulative 12, 18). Vậy $Q_3=4,0+\frac{0,5(15-12)}{6}=4,25$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=4,25-3,2=1,05$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+7+9+4+2+1=25$. Tứ phân vị thứ nhất ở vị trí $\frac{n}{4}=6,25$ thuộc nhóm $[65;70)$ (lũy tích đến 65 là 2): $Q_1=65+\frac{6,25-2}{7}\cdot 5=65+\frac{21,25}{7}\approx 68,036$. Tứ phân vị thứ ba ở vị trí $\frac{3n}{4}=18,75$ thuộc nhóm $[75;80)$ (lũy tích đến 75 là 18): $Q_3=75+\frac{18,75-18}{4}\cdot 5=75+0,9375=75,9375$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 75,9375-68,036\approx 7,90$, gần nhất với $7,9$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=84$. Tứ phân vị thứ nhất ở vị trí $\frac{n}{4}=21$: tích lũy đến nhóm $[0;20)$ là 10, đến $[20;40)$ là 28, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[20;40)$: $Q_1=20+\frac{21-10}{18}\cdot 20=20+\frac{110}{9}\approx 32,22$. Tứ phân vị thứ ba ở vị trí $\frac{3n}{4}=63$: tích lũy đến $[40;60)$ là 52, đến $[60;80)$ là 72, nên $Q_3$ thuộc nhóm $[60;80)$: $Q_3=60+\frac{63-52}{20}\cdot 20=71$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=71-\frac{230}{9}=\frac{409}{9}\approx 38,8$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=84$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{84}{4}=21$, nằm trong nhóm $[20;40)$ nên $Q_1=20+\frac{21-10}{18}\cdot 20=20+\frac{220}{18}\approx 32,222$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3\cdot 84}{4}=63$, nằm trong nhóm $[60;80)$ (cumulative đến 60 là 52) nên $Q_3=60+\frac{63-52}{20}\cdot 20=71$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=71-\frac{1100}{54}\approx 38,8$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=200$, nên tứ phân vị thứ nhất là giá trị đứng ở vị trí $\frac{n}{4}=50$ và tứ phân vị thứ ba là giá trị đứng ở vị trí $\frac{3n}{4}=150$.

• $Q_1$: vì tần số tích lũy của nhóm $[8,5;8,8)$ là 20 < 50 và của nhóm $[8,8;9,1)$ là 55 ≥ 50, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[8,8;9,1)$ có $n_2=35$, $c{f}_1=20$:
$$Q_1=8,8+\frac{50-20}{35}\cdot 0,3=8,8+\frac{9}{35}\approx 9,0571.$$

• $Q_3$: vì tần số tích lũy của nhóm $[9,1;9,4)$ là 115 < 150 và của nhóm $[9,4;9,7)$ là 170 ≥ 150, nên $Q_3$ thuộc nhóm $[9,4;9,7)$ có $n_4=55$, $c{f}_3=115$:
$$Q_3=9,4+\frac{150-115}{55}\cdot 0,3=9,4+\frac{21}{110}\approx 9,5909.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 9,5909-9,0571=0,5338\approx 0,53.$$

Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (trang 12, mã đề 1202, dòng 22): 0,53.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=30$, tổng tần số tích lũy: 2, 8, 16, 25, 28, 30.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=7,5$ thuộc nhóm $[5;10)$ (tần số tích lũy trước là 2, tần số nhóm là 6):
$$Q_1=5+\frac{7,5-2}{6}\cdot 5=5+\frac{27,5}{6}\approx 9,5833.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=22,5$ thuộc nhóm $[15;20)$ (tần số tích lũy trước là 16, tần số nhóm là 9):
$$Q_3=15+\frac{22,5-16}{9}\cdot 5=15+\frac{32,5}{9}\approx 18,6111.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 18,6111-9,5833=9,0278\approx 9,03.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn 9,03.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=20$. Tần số tích lũy: $3;9;14;18;20$.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=5$, thuộc nhóm $[3,0;3,3)$ (vì tần số tích lũy trước nhóm là 3):
$$Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,0+0,1=3,1.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=15$, thuộc nhóm $[3,6;3,9)$ (vì tần số tích lũy trước nhóm là 14):
$$Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,6+0,075=3,675.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=3,675-3,1=0,575.$$

Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn.

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là $c{f}_1=3,c{f}_2=9,c{f}_3=28,c{f}_4=51,c{f}_5=60$. Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{60}{4}=15$ mà $9<15<28$ suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 15. Xét nhóm 3 là nhóm $[60;70]$ có $s=60,h=10,n_3=19$ và nhóm 2 là nhóm $[50;60]$ có $c{f}_2=9$. Ta có tứ phân vị thứ nhất là: $Q_1=s+\left(\frac{15-c{f}_2}{n_3}\right)\cdot h=60+\left(\frac{15-9}{19}\right)\cdot 10=\frac{1200}{19}$. Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.60}{4}=45$ mà $28<45<51$ suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 45. Xét nhóm 4 là nhóm $[70;80]$ có $t=70,l=10,n_4=23$ và nhóm 3 là nhóm $[60;70]$ có $c{f}_3=28$. Ta có tứ phân vị thứ ba là: $Q_3=t+\left(\frac{45-c{f}_3}{n_4}\right)\cdot l=70+\left(\frac{45-28}{23}\right)\cdot 10=\frac{1780}{23}$. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $Q_3-Q_1=\frac{1780}{23}-\frac{1200}{19}\approx 14,23$

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$. Tần số tích lũy: 3, 9, 14, 18, 20.
- Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=5$, thuộc nhóm $[3,0;3,3)$: $Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,1$.
- Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=15$, thuộc nhóm $[3,6;3,9)$: $Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,675$.
Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=3,675-3,1=0,575$. Khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$. Tứ phân vị thứ nhất: $Q_1$ là giá trị thứ $\frac{n}{4}=5$. Lũy tích: 3, 9, 14, 18, 20 nên giá trị thứ 5 nằm trong nhóm $[3,0;3,3)$ có 6 giá trị: $Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,1$. Tứ phân vị thứ ba: $Q_3$ là giá trị thứ $\frac{3n}{4}=15$, nằm trong nhóm $[3,6;3,9)$ có 4 giá trị: $Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,675$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=3,675-3,1=0,575$. Kết quả trùng với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=3+4+7+2+5+2=23$. Nhóm chứa $Q_1$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge \frac{n}{4}=5,75$, tức nhóm $[3;5)$ (tần số tích lũy 7). Suy ra $Q_1=3+\frac{5,75-3}{4}\cdot 2=4,375$. Nhóm chứa $Q_3$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge \frac{3n}{4}=17,25$, tức nhóm $[9;11)$ (tần số tích lũy 21). Suy ra $Q_3=9+\frac{17,25-16}{5}\cdot 2=9,5$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9,5-4,375=5,125$. Khớp với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+4+7+2+5+2=23$. Tần số tích lũy: $3;7;14;16;21;23$.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=\frac{23}{4}=5,75$, thuộc nhóm $[3;5)$ nên
$$Q_1=3+\frac{5,75-3}{4}\cdot 2=3+1,375=4,375.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=\frac{69}{4}=17,25$, thuộc nhóm $[9;11)$ (vì tần số tích lũy trước nhóm là $16\le 17,25<21$) nên
$$Q_3=9+\frac{17,25-16}{5}\cdot 2=9+0,5=9,5.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9,5-4,375=5,125.$$
Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=24+57+42+29+8=160$. Tứ phân vị thứ nhất ở vị trí $\frac{160}{4}=40$: tần số tích lũy đến nhóm [23;26) là 24, đến nhóm [26;29) là 81, nên $Q_1$ thuộc nhóm [26;29): $Q_1=26+\frac{40-24}{57}\cdot 3=26+\frac{48}{57}\approx 26,842$. Tứ phân vị thứ ba ở vị trí $\frac{3\cdot 160}{4}=120$: tần số tích lũy đến nhóm [29;32) là 123, nên $Q_3$ thuộc nhóm [29;32): $Q_3=29+\frac{120-81}{42}\cdot 3=29+\frac{117}{42}\approx 31,786$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 31,786-26,842\approx 4,9$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=7+11+4+6=28$. Vị trí tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 28}{4}=21$. Tần số tích lũy: nhóm $[15;20)$ là 7, nhóm $[20;25)$ là $7+11=18$, nhóm $[25;30)$ là $18+4=22$. Vì $18<21\le 22$ nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm $[25;30)$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=35$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{35}{4}=8,75$ thuộc nhóm $[45;50)$ nên $Q_1=45+\frac{8,75-4}{8}\cdot 5=47,96875$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3\cdot 35}{4}=26,25$ thuộc nhóm $[55;60)$ (tần số tích lũy đến 55 là 25) nên $Q_3=55+\frac{26,25-25}{6}\cdot 5\approx 56,0417$. Khoảng tứ phân vị $Q_3-Q_1\approx 8,07$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=5+12+23+31+29=100$. Tần số tích lũy: $5;17;40;71;100$.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=25$ thuộc nhóm $[40;60)$ (vì $17<25\le 40$):
$$Q_1=40+\frac{20(25-17)}{23}=40+\frac{160}{23}\approx 46,9565.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=75$ thuộc nhóm $[80;100)$ (vì $71<75\le 100$):
$$Q_3=80+\frac{20(75-71)}{29}=80+\frac{80}{29}\approx 82,7586.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 82,7586-46,9565=35,8021\approx 35,8.$$
Kết quả khớp với đáp án nguồn $35,8$.