Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khoảng biến thiên và IQR mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

Cỡ mẫu $n=30$.
Vị trí $Q_1$ là $n/4=7,5$. Nhóm chứa $Q_1$ là $[40;50)$.
$Q_1=40+\frac{7,5-(2+5)}{10}\cdot 10=40+0,5=40,5$.
Vị trí $Q_3$ là $3n/4=22,5$. Nhóm chứa $Q_3$ là $[50;60)$.
$Q_3=50+\frac{22,5-17}{8}\cdot 10=50+6,875=56,875$.
Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=56,875-40,5=16,375$.
Chọn A.

Phân tích bảng số liệu: Nhóm đầu tiên $[0;1)$ có số sinh viên là $0$, nghĩa là không có dữ liệu thực tế nào xuất hiện trong nhóm này.
Đầu mút trái nhỏ nhất của nhóm chứa dữ liệu thực tế (tần số $>0$) là nhóm $[1;2)\Rightarrow$ giá trị đầu mút trái là $1$.
Đầu mút phải lớn nhất của nhóm chứa dữ liệu thực tế là nhóm $[4;5)\Rightarrow$ giá trị đầu mút phải là $5$.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng có dữ liệu và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có dữ liệu: $R=5-1=4$.
Chọn C.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 579, trang 5), Câu 2 (Phần III, câu 18) có đáp số là $10,6$.

Cỡ mẫu $n=84$. Ta có $Q_1=4+\frac{21-18}{20}\cdot 3=4,45$ và $Q_3=13+\frac{63-52}{16}\cdot 3=15,0625⟹{\Delta }_Q=Q_3-Q_1=10,6125\approx 10,6$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 9125, trang 5), Câu 11 (Phần I) chọn đáp án B.

Ta có $Q_1=60+\frac{17,5-9}{19}\cdot 10\approx 64,47$ và $Q_3=80+\frac{52,5-51}{9}\cdot 10\approx 81,67⟹{\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 17,2\approx 17$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề thi 1121, trang 6), Câu 2 (Phần II, câu 14): a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

a) Đúng ($100-50=50$). b) Sai ($Q_1=68,5;Q_3=79,4⟹{\Delta }_Q=10,9\ne 5$). c) Sai ($\bar{x}=74,1;s^2=88,19\ne 89,08$). d) Đúng ($s=\sqrt{88,19}\approx 9,39$).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 5), Câu 13 (Phần I) chọn đáp án D.

Cỡ mẫu $n=146$. Ta có $Q_1=2+\frac{36,5-10}{30}\cdot 2=\frac{113}{30}$ và $Q_3=6+\frac{109,5-95}{42}\cdot 2=\frac{281}{42}$, suy ra ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{307}{105}\approx 2,92$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 13 (Phần I) chọn đáp án A.

Cỡ mẫu $n=92$. Ta có $Q_1=6+\frac{23-14}{30}\cdot 5=\frac{15}{2}$ và $Q_3=11+\frac{69-44}{25}\cdot 5=16$, suy ra ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=16-\frac{15}{2}=\frac{17}{2}$.

Cỡ mẫu $n=42$. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1=20+\frac{10,5-7}{11}\cdot 20=\frac{290}{11}$. Tứ phân vị thứ ba $Q_3=40+\frac{31,5-18}{15}\cdot 20=58$. Khoảng tứ phân vị là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=58-\frac{290}{11}=\frac{348}{11}\approx 31,6$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 3 (Phần I) chọn đáp án C.

Ta có $Q_1=40+\frac{10-2}{10}\cdot 10=48$ và $Q_3=60+\frac{30-28}{8}\cdot 10=62,5⟹{\Delta }_Q=Q_3-Q_1=14,5$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1276, trang 5), Câu 1 (Phần I) chọn đáp án B.

Cỡ mẫu $n=20$. Ta có $Q_1=45+\frac{5-3}{7}\cdot 5=\frac{325}{7}$ và $Q_3=50+\frac{15-10}{8}\cdot 5=53,125⟹{\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 6,7$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 2 (Phần I) chọn đáp án C.

Ta có $Q_1=60+\frac{15-9}{19}\cdot 10=\frac{1200}{19}$ và $Q_3=70+\frac{45-28}{23}\cdot 10=\frac{1780}{23}⟹{\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{1780}{23}-\frac{1200}{19}\approx 14,23$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 6201, trang 9), Câu 4 (Phần I) chọn đáp án A.

Cỡ mẫu $n=60$. Ta có $Q_1=20+\frac{15-7}{19}\cdot 10=\frac{460}{19}$ và $Q_3=30+\frac{45-26}{24}\cdot 10=\frac{455}{12}⟹{\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{455}{12}-\frac{460}{19}\approx 13,7$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 1 (Phần I) chọn đáp án D.

Cỡ mẫu $n=20$. Ta có $Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,1$ và $Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,675⟹{\Delta }_Q=Q_3-Q_1=0,575$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 3 (Phần I) chọn đáp án D.

Cỡ mẫu $n=5+13+35+20+7=80$. Ta có $Q_1=7+\frac{20-18}{35}\cdot 1=\frac{247}{35}$ và $Q_3=8+\frac{60-53}{20}\cdot 1=8,35$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=8,35-\frac{247}{35}\approx 1,29$.

Các nhóm số liệu là $[40;45),[45;50),[50;55),[55;60),[60;65),[65;70)$. Khoảng biến thiên là $R=70-40=30$.

Cỡ mẫu $n=33+23+3+16+16+9=100$. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ thuộc nhóm $[22;31)$, $Q_1=22+\frac{25-0}{33}\times 9\approx 28,82$. Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ thuộc nhóm $[49;58)$, $Q_3=49+\frac{75-59}{16}\times 9=53,83$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 53,83-28,82=25,01$.

Tính toán khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 120$.

Cỡ mẫu $n=3+7+8+2=20$.
Ta có $\frac{n}{4}=\frac{20}{4}=5$, suy ra tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ thuộc nhóm $[45;50)$:
$Q_1=45+\frac{5-3}{7}\cdot 5=\frac{325}{7}$.
Ta có $\frac{3n}{4}=15$, suy ra tứ phân vị thứ ba $Q_3$ thuộc nhóm $[50;55)$:
$Q_3=50+\frac{15-10}{8}\cdot 5=\frac{425}{8}$.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{425}{8}-\frac{325}{7}=\frac{375}{56}\approx 6,7$.

Cỡ mẫu $n=25$. Vị trí của $Q_1$ là $\frac{25}{4}=6,25$. Tần số tích luỹ các nhóm: $c{f}_1=4,c{f}_2=10,c{f}_3=18,c{f}_4=22,c{f}_5=25$. Do đó nhóm chứa $Q_1$ là $[10;12)$, ta có: $Q_1=10+\frac{6,25-4}{6}\cdot 2=10+0,75=10,75=\frac{43}{4}$. Vị trí của $Q_3$ là $\frac{3\cdot 25}{4}=18,75$, thuộc nhóm $[14;16)$, ta có: $Q_3=14+\frac{18,75-18}{4}\cdot 2=14+0,375=14,375=\frac{115}{8}$. Khoảng tứ phân vị là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=14,375-10,75=3,625=\frac{29}{8}$. Phân số tối giản có $a=29,b=8⟹P=a+b=29+8=37$. Chọn C.

Theo bảng đáp án và lời giải chính thức (Mã đề 2601), Câu 2 (Phần III) có đáp số là $3,27$.

Từ biểu đồ ta có bảng tần số ghép nhóm ($n=100$):
- $[2;4)$: $12$ sinh viên;
- $[4;6)$: $20$ sinh viên;
- $[6;8)$: $37$ sinh viên;
- $[8;10)$: $21$ sinh viên;
- $[10;12)$: $10$ sinh viên.

Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ thuộc nhóm $[4;6)$:
$Q_1=4+\frac{\frac{100}{4}-12}{20}\cdot (6-4)=4+\frac{13}{20}\cdot 2=5,3$.

Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ thuộc nhóm $[8;10)$:
$Q_3=8+\frac{\frac{3\cdot 100}{4}-(12+20+37)}{21}\cdot (10-8)=8+\frac{75-69}{21}\cdot 2=8+\frac{12}{21}\approx 8,57$.

Khoảng tứ phân vị là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 8,57-5,3=3,27$.