Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\frac{n^3-2n}{3n^2+n-2}=\frac{n-\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}}$. Khi $n\to +\infty$, tử $n-\frac{2}{n}\to +\infty$ và mẫu $3+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}\to 3>0$, do đó $L=+\infty$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $u_n=\frac{-2+3n-2n^3}{3n-2}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $u_n=\frac{\frac{-2}{n}+3-2n^2}{3-\frac{2}{n}}$. Khi $n\to +\infty$, mẫu tiến về $3>0$, còn tử có số hạng $-2n^2\to -\infty$ trội hơn nên tử tiến về $-\infty$. Do đó $\lim u_n=-\infty$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{\sqrt{4n^2+1}-\sqrt{n+2}}{2n-3}=\lim \frac{\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}-\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}}{2-\frac{3}{n}}=\frac{2-0}{2}=1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $n-\sqrt{n^2-4n}=\frac{4n}{n+\sqrt{n^2-4n}}=\frac{4}{1+\sqrt{1-\frac{4}{n}}}\to \frac{4}{1+1}=2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là cấp số nhân lùi với số hạng đầu $a=2$ và công bội $q=\frac{1}{3}$, $|q|<1$. Tổng vô hạn: $$S=\frac{a}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}=3.$$ Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Quả bóng rơi từ độ cao $h_1=55,8$ m. Sau mỗi lần chạm đất nó nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao trước đó, nên tổng hành trình gồm: lần rơi đầu $55,8$ m, cộng với tổng các lần nảy lên và rơi xuống (mỗi cặp nảy lên + rơi xuống có độ cao gấp đôi độ cao nảy).

Tổng các độ cao nảy lên tạo cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=55,8\cdot \frac{1}{10}=5,58$ và công bội $q=\frac{1}{10}$:
$$S_{nảy}=\frac{u_1}{1-q}=\frac{5,58}{1-\frac{1}{10}}=\frac{5,58}{0,9}=6,2\text{ (m)}.$$

Tổng độ dài hành trình:
$$S=55,8+2\cdot S_{nảy}=55,8+2\cdot 6,2=55,8+12,4=68,2\text{ (m)}.$$

Vì $68,2\in (67;69)$ nên đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $4^n$: $\lim \frac{2\cdot (1/2{)}^n+7}{(3/4{)}^n+4}=\frac{0+7}{0+4}=\frac{7}{4}$. Vậy $a=7,b=4$ (tối giản, $a,b\in \mathbb{N}$), nên $a^2+b^2=49+16=65$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n-2}{n+3}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3-\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{n}}=\frac{3-0}{1+0}=3$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn của dãy số: $\lim (u_n-v_n)=\lim u_n-\lim v_n=8-10=-2$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường rơi đầu tiên là 8 m. Sau đó mỗi lần nảy lên độ cao h thì rơi xuống lại h, với các độ cao tạo cấp số nhân công bội q = 1/3: 8/3, 8/9, ... Tổng quãng đường: S = 8 + 2·(8/3 + 8/9 + ...) = 8 + 2·(8/3)/(1 − 1/3) = 8 + 2·4 = 16 m.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 126: Tính từng giới hạn.

1. Chia tử và mẫu cho $n$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{5n+9}=\lim \frac{2+\frac{1}{n}}{5+\frac{9}{n}}=\frac{2}{5}$.

2. Chia cho $n^2$: $\lim \frac{\frac{1}{n}-\frac{7}{n^2}}{1+\frac{9}{n}+\frac{2}{n^2}}=0$.

3. Mẫu có bậc 3: $(2n+3)(n^2+7)=2n^3+6n^2+14n+21$. Chia tử và mẫu cho $n^3$: $\lim \frac{1-\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{2+\frac{6}{n}+\frac{14}{n^2}+\frac{21}{n^3}}=\frac{1}{2}$.

4. Tử bậc 2, mẫu bậc 1, chia cho $n$: $\lim \frac{n-9+\frac{2}{n}}{5+\frac{9}{n}}=+\infty$. Vậy giới hạn bằng $+\infty$.

5. Chia tử và mẫu cho $3^n$: $\lim \frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{9+\frac{1}{3^n}}=\frac{1-0}{9+0}=\frac{1}{9}$.

6. Ta có $2^{2n+1}=2\cdot 4^n$, $2^{3n-1}=\frac{1}{2}\cdot 8^n$. Chia tử và mẫu cho $8^n$: $\lim \frac{2{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-{\left(\frac{7}{8}\right)}^n}{\frac{1}{2}+7{\left(\frac{7}{8}\right)}^n}=\frac{0-0}{\frac{1}{2}+0}=0$.

7. $\underset{n\to +\infty }{\lim }(-2n^3+9n^2+1)=\lim n^3\left(-2+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^3}\right)=-\infty$ vì $-2+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^3}\to -2<0$ và $n^3\to +\infty$.

8. Nhân liên hợp: $\sqrt{4n^2+2}-5n=\frac{4n^2+2-25n^2}{\sqrt{4n^2+2}+5n}=\frac{-21n^2+2}{\sqrt{4n^2+2}+5n}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{-21n+\frac{2}{n}}{\sqrt{4+\frac{2}{n^2}}+5}=-\infty$.

9. Nhân liên hợp: $\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+8n+2}=\frac{(n^2+1)-(n^2+8n+2)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+8n+2}}=\frac{-8n-1}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+8n+2}}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{-8-\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n}+\frac{2}{n^2}}}=\frac{-8}{1+1}=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n$: nếu $|q|<1$ thì $\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=0$; nếu $q>1$ thì $\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=+\infty$. — A: $\left|\frac{2}{3}\right|<1$ nên $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$. Đúng. — B: $\frac{5}{3}>1$ nên giới hạn là $+\infty$. — C: $\frac{4}{3}>1$ nên giới hạn là $+\infty$. — D: $2>1$ nên giới hạn là $+\infty$. Vậy chỉ có giới hạn ở phương án A bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
Lần đầu bóng rơi từ độ cao $55,8$ m. Sau mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao trước đó rồi lại rơi xuống cùng độ cao đó.

Tổng quãng đường nảy lên (bằng tổng quãng đường rơi xuống sau lần chạm đầu) là cấp số nhân vô hạn:
$$S_{nảy}=55,8\cdot \frac{1}{10}+55,8\cdot \frac{1}{10^2}+\cdots =\frac{55,8\cdot \frac{1}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{55,8}{9}=6,2\text{m}.$$

Tổng độ dài hành trình:
$$S=55,8+2\cdot 6,2=55,8+12,4=68,2\text{m}.$$

Vậy tổng độ dài hành trình của quả bóng là $68,2$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn của tích hai dãy số: nếu $\lim u_n=3$ và $\lim v_n=5$ thì $\lim (u_n\cdot v_n)=\lim u_n\cdot \lim v_n=3\cdot 5=15$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\lim u_n=-3$ nên theo tính chất giới hạn của dãy số: $\lim (5-u_n)=5-\lim u_n=5-(-3)=8$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta dùng quy tắc: với $|q|<1$ thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0$; với $q>1$ thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=+\infty$. Xét từng phương án:
- A: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ với $\frac{2}{3}<1$, nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$.
- B: $\frac{5}{3}>1$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{5}{3}\right)}^n=+\infty$.
- C: $\frac{4}{3}>1$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{4}{3}\right)}^n=+\infty$.
- D: $2>1$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{2}^n=+\infty$.
Vậy chỉ có giới hạn ở phương án A bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\frac{1}{\pi }<1$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{\pi }\right)}^n=0$. Các phương án B, C, D có cơ số lớn hơn 1 nên giới hạn đều là $+\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n+2}{2n-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3+\frac{2}{n}}{2-\frac{1}{n}}=\frac{3+0}{2-0}=\frac{3}{2}$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{8n^2+n-2}{n^2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(8+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}\right)=8+0-0=8$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a_n=1-2n\sim -2n$ và $b_n=-n^3+2n+1\sim -n^3$ khi $n\to +\infty$. a) $\lim \frac{a_n}{b_n}=\lim \frac{1-2n}{-n^3+2n+1}=\lim \frac{1/n^3-2/n^2}{-1+2/n^2+1/n^3}=0$ → đúng. b) $\lim \frac{b_n}{a_n}=\lim \frac{-n^3+2n+1}{1-2n}=\lim \frac{-n^2+2+1/n}{1/n-2}=+\infty \ne 0$ → sai. c) $\lim b_n=\lim (-n^3+2n+1)=-\infty$ → đúng. d) $\lim \frac{1}{a_n}=\lim \frac{1}{1-2n}=0\ne +\infty$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^3$: $\lim \frac{1/n^3-2/n^2}{-1+2/n^2+1/n^3}=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\lim \frac{-n^3+2n+1}{1-2n}=\lim \frac{-n^2+2+1/n}{1/n-2}=+\infty$, không bằng 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\lim (-n^3+2n+1)=-\infty$ vì bậc cao nhất là $-n^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\lim \frac{1}{1-2n}=0$, không phải $+\infty$.