Biết $\lim \frac{2^{n+1}+7.4^n}{3^n+4^{n+1}}=\frac{a}{b}$ với $a,b\in \mathbb{N}$. Tính $a^2+b^2$.

Xét dãy các hình phẳng $K_n,n\ge 0$ được xác định như sau: $K_0$ là một lục giác đều có độ dài cạnh bằng 1. Với mỗi số tự nhiên $n$, hình $K_{n+1}$ được tạo thành từ hình $K_n$ bằng cách như sau: Chia mỗi cạnh của $K_n$ thành 3 đoạn thẳng bằng nhau; trên đoạn thẳng ở chính giữa, dựng một tam giác đều nằm về phía trong của $K_n$, sau đó thay thế đoạn thẳng này bởi đường gấp khúc gồm hai cạnh còn lại của tam giác đều vừa dựng. Dưới đây là hình minh họa cho $K_0,K_1,K_2$ và $K_3$.



Kí hiệu $s_n$ là diện tích của hình $K_n$, tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{s}_n$.

(1,0 điểm) Tính giới hạn của dãy số $\lim \frac{4n^2-3n+1}{2n^2+5}$.

Mệnh đề nào sau đây là ĐÚNG?

Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao 10m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{3}{4}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

Giá trị của $\lim \left(2n-\sqrt{n^3+2n-2}\right)$ là.

(4,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thoả mãn $u_1=2027$ và $u_n=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}+\frac{2026}{u_{n-1}}\right),\forall n\ge 2$.

a) Chứng minh rằng $u_n\ge \sqrt{2026},\forall n\ge 1$.

b) Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.