(1,0 điểm) Tính giới hạn của dãy số $\lim \frac{4n^2-3n+1}{2n^2+5}$.

(4,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thoả mãn $u_1=2027$ và $u_n=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}+\frac{2026}{u_{n-1}}\right),\forall n\ge 2$.

a) Chứng minh rằng $u_n\ge \sqrt{2026},\forall n\ge 1$.

b) Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Cho $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=4$, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=-3$, khi đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }(3u_n-2v_n)=?$

Cho $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-4$, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=3$, khi đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }(3u_n-2v_n)=?$

Câu 2. (6,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=1$ và $u_{n+1}=\frac{u_n+4}{u_n+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

b) Chứng minh tồn tại hàm phân thức $f(x)=\frac{x+a}{x+b}$ $(a\ne b)$ sao cho dãy $(f(u_n))$ lập thành một cấp số nhân.

Giá trị ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\frac{n^2+n}{12n^2+1}\right)$ bằng:

Giá trị $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{n^2+n}{12n^2+1}\right)$ bằng: