Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $CD$.
a) Tìm giao điểm $K$ của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(OMN)$.
b) Gọi $I=BM\cap CK$. Chứng minh rằng $SI//(ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
**Bài giải Phần IV – Câu 3**

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$; $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $CD$.

**a) Tìm $K=SD\cap (OMN)$.**

Trong tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SA$, $O$ là trung điểm $AC$ nên $MO$ là đường trung bình, suy ra $MO\parallel SC$.

Vì $MO\parallel SC$ với $SC\subset (SCD)$ và $MO\not\subset (SCD)$ nên $MO\parallel (SCD)$.

Mặt phẳng $(OMN)$ đi qua $MO$ và cắt $(SCD)$ theo giao tuyến $d$ đi qua $N$ với $d\parallel MO\parallel SC$ (định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng).

Trong tam giác $SCD$: đường thẳng qua trung điểm $N$ của $CD$ và song song với $SC$ cắt $SD$ tại trung điểm của $SD$ (định lý đường trung bình). Vậy
$$K=SD\cap (OMN)\text{ laˋ trung điểm của }SD.$$

(Kiểm tra bằng tọa độ: lấy $O$ làm gốc, $\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b}\Rightarrow \overrightarrow{OC}=-\vec{a},\overrightarrow{OD}=-\vec{b}$, $\overrightarrow{OS}=\vec{s}$. Khi đó $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\frac{\vec{s}+\vec{a}}{2}+\frac{-\vec{a}-\vec{b}}{2}=\frac{\vec{s}-\vec{b}}{2}=\frac{\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OD}}{2}$, đúng là trung điểm $SD$ và thuộc $(OMN)$.)

**b) Chứng minh $SI\parallel (ABCD)$ với $I=BM\cap CK$.**

Vì $K$ là trung điểm $SD$ nên trong tam giác $SAD$, $MK$ là đường trung bình:
$$MK\parallel AD,MK=\frac{AD}{2}=\frac{BC}{2}.$$
Suy ra $MK\parallel BC$, do đó $M,B,C,K$ đồng phẳng, tạo thành hình thang $MBCK$ (hai đáy $MK\parallel BC$), và $I=BM\cap CK$ là giao của hai đường chéo.

Xét tam giác $IMK$ và $IBC$: có $\widehat{MIK}=\widehat{BIC}$ (đối đỉnh), $\widehat{IMK}=\widehat{IBC}$ (so le trong vì $MK\parallel BC$), nên hai tam giác đồng dạng, suy ra
$$\frac{IM}{IB}=\frac{MK}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow IM=\frac{IB}{2},$$
tức là $M$ là trung điểm của $IB$.

Xét tứ giác $ABSI$: có $M$ là trung điểm của $SA$ (giả thiết) và $M$ là trung điểm của $IB$ (vừa chứng minh), nên hai đường chéo $SA$ và $IB$ cắt nhau và cùng bị chia đôi tại $M$. Do đó tứ giác $ABSI$ là hình bình hành, suy ra
$$SI\parallel AB.$$

Vì $AB\subset (ABCD)$ và $SI\not\subset (ABCD)$ nên $SI\parallel (ABCD)$. $■$

(Kiểm tra bằng vectơ: $\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{BM}=\vec{b}+(\vec{s}+\vec{a}-2\vec{b})=\vec{s}+\vec{a}-\vec{b}$, nên $\overrightarrow{SI}=\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{BA}$, tức $SI\parallel AB$ và $M$ đúng là trung điểm $BI$.)