Giá trị của $\lim \left(2n-\sqrt{n^3+2n-2}\right)$ là.

(4,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thoả mãn $u_1=2027$ và $u_n=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}+\frac{2026}{u_{n-1}}\right),\forall n\ge 2$.

a) Chứng minh rằng $u_n\ge \sqrt{2026},\forall n\ge 1$.

b) Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn:
$$u_1=\frac{5}{2},u_{n+1}=\frac{2u_n^2+4u_n+9}{u_n^2+u_n+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
a. Chứng minh dãy số $(u_n)$ là dãy số bị chặn.
b. Tìm $\lim (u_n)$.

Câu 2. (6,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=1$ và $u_{n+1}=\frac{u_n+4}{u_n+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

b) Chứng minh tồn tại hàm phân thức $f(x)=\frac{x+a}{x+b}$ $(a\ne b)$ sao cho dãy $(f(u_n))$ lập thành một cấp số nhân.

Từ một hình vuông $ABCD$ cạnh bằng 1, ta thực hiện như sau:
+ Chia cạnh AB thành 3 đoạn bằng nhau, về phía ngoài, dựng hình vuông có cạnh là đoạn ở giữa rồi xóa đi đoạn đó, ta được hình $H_1$.
+ Trên mỗi cạnh song song với $CD$ của hình $H_1$ ta lại chia thành 3 đoạn bằng nhau, về phía ngoài, dựng hình vuông có cạnh là đoạn ở giữa và xóa đi đoạn đó, ta được hình $H_2$.
Ta tiếp tục lặp lại quá trình như trên. Gọi $S_n$ là diện tích của hình $H_n$, tính ${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Kết quả $\lim \frac{5^n-9\cdot 7^n}{4-4\cdot 7^n}$ bằng

Kết quả $\lim \frac{5^n-9\cdot 7^n}{4-4\cdot 7^n}$ bằng