Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Chuyên đề: Bernoulli/nhị thức (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất sinh đúng một con trai trong ba lần sinh: $C_3^1(0,5{)}^1(0,5{)}^2=3\cdot \frac{1}{8}=\frac{3}{8}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $k$ là số câu trả lời đúng. Điểm: $5k-(10-k)=26\Rightarrow 6k=36\Rightarrow k=6$. Xác suất trả lời đúng mỗi câu là $\frac{1}{4}$, sai là $\frac{3}{4}$. Vậy $P=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{6}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^6{\left(\frac{3}{4}\right)}^4=210\cdot \frac{81}{4^{10}}=\frac{17010}{1048576}\approx 0,0162225$. Giá trị gần đúng nhất là $P\approx 0,016222$, tương ứng phương án C (phương án D ghi $0,0162227$ là làm tròn sai).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất Tuấn thắng 1 set là $p=0,6$, thua là $q=0,4$. Tuấn thắng chung cuộc khi thắng 3 set trước khi đối thủ thắng 3 set, tức thắng ở set 3, 4 hoặc 5.
- Thắng 3-0: $P_3=0,6^3=0,216$.
- Thắng sau 4 set (thắng đúng 2 trong 3 set đầu, thắng set 4): $P_4=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)0,6^2\cdot 0,4\cdot 0,6=3\cdot 0,36\cdot 0,4\cdot 0,6=0,2592$.
- Thắng sau 5 set (thắng đúng 2 trong 4 set đầu, thắng set 5): $P_5=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)0,6^2\cdot 0,4^2\cdot 0,6=6\cdot 0,36\cdot 0,16\cdot 0,6=0,20736$.
Tổng: $P=0,216+0,2592+0,20736=0,68256\approx 0,68$. Kết quả khớp với đáp án A đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Nam chắc chắn đúng 10 câu; 10 câu còn lại chọn ngẫu nhiên, xác suất đúng mỗi câu là p = 1/4, sai là 3/4. Gọi X là số câu đúng trong 10 câu ngẫu nhiên thì X ~ B(10; 1/4).
a) Để đúng hết 20 câu thì 10 câu ngẫu nhiên phải đúng hết: P = 1·(1/4)^10 = (1/4)^10. Đúng.
b) Xác suất trả lời sai một câu ngẫu nhiên là 3/4 (không phải 1/4); nếu hiểu là sai đúng 1 câu trong 10 câu ngẫu nhiên thì P = C(10,1)(3/4)(1/4)^9 = 30/4^10 ≈ 0,0000286, cũng không bằng 1/4. Sai.
c) Đạt 8 điểm tức đúng 16 câu, tức trong 10 câu ngẫu nhiên đúng đúng 6 câu: P = C(10,6)(1/4)^6(3/4)^4, không phải C(6,4)(1/4)^6(3/4)^4. Sai.
d) Đạt từ 9 điểm trở lên tức đúng ≥ 18 câu, tức X ≥ 8: P = C(10,8)(1/4)^8(3/4)^2 + C(10,9)(1/4)^9(3/4) + (1/4)^10 = (405 + 30 + 1)/4^10 = 436/1048576 ≈ 0,000416 > 0,0004. Sai.
Vậy a) Đúng; b), c), d) Sai, khớp với đáp án nguồn (1702: a)Đ - b)S - c)S - d)S).
a) (AI giải đề cho tôi)
10 câu chắc chắn đúng, 10 câu ngẫu nhiên phải đúng hết: (1/4)^10.
b) (AI giải đề cho tôi)
Xác suất sai một câu ngẫu nhiên là 3/4; xác suất sai đúng 1 trong 10 câu là C(10,1)(3/4)(1/4)^9 ≠ 1/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
8 điểm tương ứng đúng 16 câu, tức 6 câu đúng trong 10 câu ngẫu nhiên: C(10,6)(1/4)^6(3/4)^4, không phải C(6,4).
d) (AI giải đề cho tôi)
P(X ≥ 8) = 436/4^10 ≈ 0,000416 > 0,0004 nên khẳng định sai.

a) Sai: xác suất trả lời sai 1 câu khi chọn ngẫu nhiên là $\frac{3}{4}$. b) Sai: Nam giải chắc chắn đúng 10 câu nên xác suất đúng hết 20 câu là $C_{10}^{10}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}.{\left(\frac{3}{4}\right)}^0={\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}$. c) Sai: để đạt đúng 8 điểm cần đúng thêm 6 câu trong 10 câu chọn ngẫu nhiên, xác suất là $C_{10}^6.{\left(\frac{1}{4}\right)}^6.{\left(\frac{3}{4}\right)}^4$. d) Đúng: xác suất đạt từ 9 điểm trở lên là $C_{10}^8.{\left(\frac{1}{4}\right)}^8.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+C_{10}^9.{\left(\frac{1}{4}\right)}^9.{\left(\frac{3}{4}\right)}^1+C_{10}^{10}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}.{\left(\frac{3}{4}\right)}^0\approx 0,0004158>0,0004$.
a) a) Sai. Xác suất để trả lời sai 1 câu khi chọn ngẫu nhiên là $\frac{3}{4}$, không phải $\frac{1}{4}$.
b) b) Sai. Nam giải chắc chắn đúng 10 câu nên Nam cần trả lời đúng thêm 10 câu. Xác suất là $C_{10}^{10}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}.{\left(\frac{3}{4}\right)}^0={\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}$, không phải ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{20}$.
c) c) Sai. Để Nam đạt được đúng 8 điểm thì trong 10 câu còn lại lựa chọn ngẫu nhiên đáp án phải đúng 6 câu nữa (vì đã có 5 điểm chắc chắn), sai 4 câu. Xác suất khi đánh ngẫu nhiên đúng một câu trắc nghiệm là $\frac{1}{4}$; xác suất khi đánh ngẫu nhiên sai một câu trắc nghiệm là $\frac{3}{4}$. Chọn 6 câu trắc nghiệm để đáp đúng từ 10 câu trắc nghiệm có: $C_{10}^6$ (cách). Vậy, xác suất để Nam đạt được đúng 8 điểm là $C_{10}^6.{\left(\frac{1}{4}\right)}^6.{\left(\frac{3}{4}\right)}^4$.
d) d) Đúng. Để đạt 9 điểm, Nam cần trả lời đúng thêm 8 câu. Xác suất là $C_{10}^8.{\left(\frac{1}{4}\right)}^8.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2$. Để đạt 9,5 điểm, Nam cần trả lời đúng thêm 9 câu. Xác suất là $C_{10}^9.{\left(\frac{1}{4}\right)}^9.{\left(\frac{3}{4}\right)}^1$. Để đạt 10 điểm, Nam cần trả lời đúng thêm 10 câu. Xác suất là $C_{10}^{10}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}.{\left(\frac{3}{4}\right)}^0$. Như vậy, xác suất để đạt từ 9 điểm trở lên là $C_{10}^8.{\left(\frac{1}{4}\right)}^8.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+C_{10}^9.{\left(\frac{1}{4}\right)}^9.{\left(\frac{3}{4}\right)}^1+C_{10}^{10}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}.{\left(\frac{3}{4}\right)}^0\approx 0,0004158>0,0004$.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi câu thí sinh đã đúng 2 ý nên được 0,25 điểm; 2 ý còn lại chọn ngẫu nhiên, mỗi ý đúng với xác suất $\frac{1}{2}$. Gọi $k$ là số ý đúng thêm trong 2 ý còn lại của một câu: $P(k=0)=\frac{1}{4}$ (điểm 0,25), $P(k=1)=\frac{1}{2}$ (điểm 0,5), $P(k=2)=\frac{1}{4}$ (điểm 1,0). Cần tổng điểm 4 câu bằng 2,0.

Trường hợp 1: mỗi câu được thêm đúng 1 ý (mỗi câu 0,5 điểm): xác suất ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$.

Trường hợp 2: hai câu thêm 0 ý (0,25 điểm), một câu thêm 1 ý (0,5 điểm), một câu thêm 2 ý (1,0 điểm): $0,25+0,25+0,5+1,0=2,0$. Chọn câu được 1,0 điểm: 4 cách; chọn câu được 0,5 điểm: 3 cách; xác suất mỗi cách $\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{128}$. Tổng: $12\cdot \frac{1}{128}=\frac{3}{32}$.

Vậy xác suất cần tìm $\frac{1}{16}+\frac{3}{32}=\frac{5}{32}$, nên $a+b=5+32=37$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $p=0,65$ là xác suất đội X thắng một séc, $q=0,35$. Đội X thắng trận khi thắng 3 séc trước khi đội Y thắng 3 séc. Ba khả năng:
- Thắng 3-0: $p^3=0,65^3=0,274625$.
- Thắng 3-1 (thua 1 trong 3 séc đầu): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)p^{3}q=3\cdot 0,274625\cdot 0,35=0,28835625$.
- Thắng 3-2 (thua 2 trong 4 séc đầu): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)p^3{q}^2=6\cdot 0,274625\cdot 0,1225=0,201849375$.
Tổng: $P=0,274625+0,28835625+0,201849375=0,764830625\approx 0,76$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Để đạt đúng 8 điểm, An cần đúng 16 câu. Vì 10 câu chắc chắn đúng nên cần đúng thêm 6 câu trong 10 câu còn lại. Xác suất đúng mỗi câu ngẫu nhiên là $p=\frac{1}{4}$. Gọi $X$ là số câu đúng trong 10 câu ngẫu nhiên thì $X\sim B(10;\frac{1}{4})$. Xác suất cần tính: $P(X=6)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{6}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^6{\left(\frac{3}{4}\right)}^4=210\cdot \frac{81}{4^{10}}=\frac{17010}{1048576}\approx 0,0162\approx 0,016$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Để đạt đúng 8 điểm, An cần đúng 16 câu. Vì 10 câu chắc chắn đúng nên cần đúng thêm 6 trong 10 câu còn lại. Xác suất đúng mỗi câu ngẫu nhiên là $p=\frac{1}{4}$. Gọi $X$ là số câu đúng trong 10 câu ngẫu nhiên thì $X\sim B(10;\frac{1}{4})$. Xác suất cần tính: $P(X=6)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{6}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^6{\left(\frac{3}{4}\right)}^4=210\cdot \frac{81}{4^{10}}=\frac{17010}{1048576}\approx 0,0162\approx 0,016$. Vậy chọn đáp án B.

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, ta có:

$$C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\cdots +n{C}_n^n=n\cdot 2^{n-1}$$

Cách 1: Sử dụng đạo hàm

• Xét khai triển nhị thức Newton: $(1+x{)}^n={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{x}^k=C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2+\cdots +C_n^n{x}^n$.

• Lấy đạo hàm hai vế theo $x$: $n(1+x{)}^{n-1}=C_n^1+2C_n^{2}x+3C_n^3{x}^2+\cdots +n{C}_n^n{x}^{n-1}$.

• Thay $x=1$ vào đẳng thức trên, ta được: $n\cdot 2^{n-1}=C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\cdots +n{C}_n^n$ (đpcm).

Cách 2: Sử dụng công thức số hạng tổng quát

• Ta có: $k\cdot C_n^k=k\cdot \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}=n\cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!}=n\cdot C_{n-1}^{k-1}$.

• Khi đó: ${\sum }_{k=1}^{n}k\cdot C_n^k={\sum }_{k=1}^{n}n\cdot C_{n-1}^{k-1}=n{\sum }_{k=1}^n{C}_{n-1}^{k-1}$.

• Mà ${\sum }_{k=1}^n{C}_{n-1}^{k-1}=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+\cdots +C_{n-1}^{n-1}=2^{n-1}$.

• Suy ra tổng bằng $n\cdot 2^{n-1}$.

b) Bài toán xác suất

• Điểm từ 18 câu chắc chắn đúng: $18\times 0,4=7,2$ điểm.

• Số câu còn lại: $25-18=7$ câu. Để điểm toàn bài $>8,5$, số điểm từ 7 câu này phải $>1,3$.

• Gọi $k$ là số câu chọn đúng trong 7 câu $(0\le k\le 7)$. Số câu sai là $7-k$.

• Tổng điểm từ 7 câu: $0,4k-0,1(7-k)=0,5k-0,7$.

• Điều kiện: $0,5k-0,7>1,3\iff 0,5k>2,0\iff k>4$. Vậy $k\in \{5,6,7\}$.

• Xác suất đúng 1 câu là $p=1/4=0,25$.

• Xác suất cần tìm: $P=C_7^5(0,25{)}^5(0,75{)}^2+C_7^6(0,25{)}^6(0,75{)}^1+C_7^7(0,25{)}^7=\frac{211}{16384}\approx 0,01288$.

(AI giải đề cho tôi)
An chắc chắn đúng 45 câu (9 điểm). Cần điểm ≥ 9,5 nên cần đúng thêm ít nhất 3 trong 5 câu còn lại. Mỗi câu chọn ngẫu nhiên: xác suất đúng $p=\frac{1}{4}$, sai $\frac{3}{4}$, các câu độc lập. Xác suất đúng đúng 3 câu: $C_5^3{\left(\frac{1}{4}\right)}^3{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{90}{1024}$; đúng 4 câu: $C_5^4{\left(\frac{1}{4}\right)}^4\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{15}{1024}$; đúng 5 câu: ${\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$. Tổng: $\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}=\frac{53}{512}$. Vậy chọn D.

Gọi $x,y$ là số câu trả lời đúng, số câu trả lời sai.
Để thí sinh được 10 điểm thì $\{\begin{array}{l}4x-y=10\\ x+y=10\end{array}\Rightarrow x=4,y=6$
Xác suất để thí sinh đó được 10 điểm là $p=C_{10}^4{\left(\frac{1}{4}\right)}^4{\left(\frac{3}{4}\right)}^6\Rightarrow 100p\approx 14,6$.

(Câu này lấy ý tưởng Bài tập 1.7 - Chuyên đề 1- Sách Chuyên đề học tập lớp 12- KNTT)

Gọi $x,y$ là số câu trả lời đúng, số câu trả lời sai.
Để thí sinh được 20 điểm thì $\{\begin{array}{l}4x-y=20\\ x+y=10\end{array}\Rightarrow x=6,y=4$

Xác suất để thí sinh đó được 20 điểm là $p=C_{10}^6{\left(\frac{1}{4}\right)}^6{\left(\frac{3}{4}\right)}^4\Rightarrow 100p\approx 1,62$.

(Câu này lấy ý tưởng Bài tập 1.7 - Chuyên đề 1- Sách Chuyên đề học tập lớp 12- KNTT)

a) Học sinh đó làm đúng 6 câu và sai 6 câu nên được $6.4-6.1=18$ điểm. Chọn SAI.

b) Được 13 điểm khi $4x-(12-x)=13\Rightarrow x=5$; xác suất là ${\left(\frac{1}{5}\right)}^5.C_{12}^5.{\left(\frac{4}{5}\right)}^7=\frac{4^7}{5^{12}}.C_{12}^5$. Chọn SAI.

c) Được 3 điểm khi $4x-(12-x)=3\Rightarrow x=3$; xác suất là ${\left(\frac{1}{5}\right)}^3.C_{12}^3.{\left(\frac{4}{5}\right)}^9=\frac{4^9}{5^{12}}.C_{12}^3$. Chọn ĐÚNG.

d) Được điểm âm khi $4x-(12-x)<0\Rightarrow x=0;1;2$; xác suất là ${\left(\frac{4}{5}\right)}^{12}+\frac{1}{5}.C_{12}^1.{\left(\frac{4}{5}\right)}^{11}+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2.C_{12}^2.{\left(\frac{4}{5}\right)}^{10}=\frac{65}{8}.{\left(\frac{4}{5}\right)}^{12}$. Chọn ĐÚNG.
a) Học sinh đó làm đúng 6 câu và sai 6 câu nên được $6.4-6.1=18$ điểm. Chọn SAI.
b) Gọi $x$ là số câu đúng. Học sinh đó được 13 điểm khi $4x-(12-x)=13\Rightarrow x=5$ hay học sinh đó làm đúng 5 câu và sai 7 câu. Vậy xác suất để học sinh đó được 13 điểm là ${\left(\frac{1}{5}\right)}^5.C_{12}^5.{\left(\frac{4}{5}\right)}^7=\frac{4^7}{5^{12}}.C_{12}^5$. Chọn SAI.
c) Gọi $x$ là số câu đúng. Học sinh đó được 3 điểm khi $4x-(12-x)=3\Rightarrow x=3$ hay học sinh đó làm đúng 3 câu và sai 9 câu. Vậy xác suất để học sinh đó được 3 điểm là ${\left(\frac{1}{5}\right)}^3.C_{12}^3.{\left(\frac{4}{5}\right)}^9=\frac{4^9}{5^{12}}.C_{12}^3$. Chọn ĐÚNG.
d) Gọi $x$ là số câu đúng. Học sinh đó được điểm âm khi $4x-(12-x)<0$ $\Rightarrow x<\frac{12}{5}\Rightarrow x=0;1;2$ hay học sinh đó làm 0 câu đúng, hoặc 1 câu đúng, hoặc 2 câu đúng. Vậy xác suất để học sinh đó được điểm âm là $${\left(\frac{4}{5}\right)}^{12}+\frac{1}{5}.C_{12}^1.{\left(\frac{4}{5}\right)}^{11}+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2.C_{12}^2.{\left(\frac{4}{5}\right)}^{10}={\left(\frac{4}{5}\right)}^{12}+3.{\left(\frac{4}{5}\right)}^{12}+\frac{33}{8}.{\left(\frac{4}{5}\right)}^{12}=\frac{65}{8}.{\left(\frac{4}{5}\right)}^{12}.$$ Chọn ĐÚNG.

Gọi $X=\left\{k\in \mathbb{N}\mid k=\overline{0,10}\right\}$ là số câu trả lời đúng trong bài trắc nghiệm

và $Y=\left\{7k-20\mid k\in \mathbb{N}\text{ vaˋ }k=\overline{0,10}\right\}$ là số điểm đạt được trong bài trắc nghiệm

Khi đó $X,Y$ là các biến ngẫu nhiên rời rạc

Ta có $P\left(X=k\right)=C_{10}^k.{\left(\frac{1}{4}\right)}^k.{\left(\frac{3}{4}\right)}^{10-k}$ với $0\le k\le 10$.

Bảng phân phối xác suất



Xác suất để học sinh đó có điểm dưới 1 là

$$P\left(Y<1\right)=P\left(-20\right)+P\left(-13\right)+P\left(-6\right)=\sum _{k=0}^2{C}_{10}^k.{\left(\frac{1}{4}\right)}^k.{\left(\frac{3}{4}\right)}^{10-k}\approx 0,5256$$

(AI giải đề cho tôi)
An thắng chung cuộc khi thắng trước 3 séc. Gọi p=0,4 (thắng séc), q=0,6.
- Thắng 3-0: $0,4^3=0,064$.
- Thắng 3-1: thắng séc thứ 4 và 2 trong 3 séc đầu: $C_3^2\cdot 0,4^2\cdot 0,6\cdot 0,4=3\cdot 0,0384=0,1152$.
- Thắng 3-2: thắng séc thứ 5 và 2 trong 4 séc đầu: $C_4^2\cdot 0,4^2\cdot 0,6^2\cdot 0,4=6\cdot 0,02304=0,13824$.
Tổng: $P=0,064+0,1152+0,13824=0,31744\approx 0,32$.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất trúng mỗi lần là $p=0,6$, xác suất trượt là $q=0,4$. Ba lần bắn độc lập, xác suất có đúng 2 lần trúng theo công thức Bernoulli: $P=C_3^2(0,6{)}^2(0,4)=3\cdot 0,36\cdot 0,4=0,432=\frac{54}{125}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
A thắng trận khi A thắng 3 hiệp trước khi B thắng 3 hiệp. Xét các trường hợp (hiệp cuối luôn A thắng):
- Thắng 3-0: $0,3^3=0,027$.
- Thắng 3-1: A thắng đúng 2 trong 3 hiệp đầu rồi thắng hiệp 4: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)0,3^3\cdot 0,7=3\cdot 0,027\cdot 0,7=0,0567$.
- Thắng 3-2: A thắng đúng 2 trong 4 hiệp đầu rồi thắng hiệp 5: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)0,3^3\cdot 0,7^2=6\cdot 0,027\cdot 0,49=0,07938$.

Vậy $P=0,027+0,0567+0,07938=0,13662\approx 0,137$.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất cả 3 lần sinh đều là con gái là $0,49^3=0,117649$. Vậy xác suất có ít nhất một con trai trong 3 lần sinh là $P(A)=1-0,49^3=0,882351\approx 0,88$. Đáp án A.

+ TH1: Trận đấu có 3 séc
Khi đó, Bắc thắng cả 3 séc. Xác suất thắng trong trường hợp này là $(0,6{)}^3$.
+ TH2: Trận đấu có 4 séc
Khi đó, Bắc thua đúng 1 trong 3 séc đầu và thắng séc thứ 4.
Số cách chọn 1 séc để Bắc thua là $C_3^1$, suy ra xác suất là $C_3^1.0,4.(0,6{)}^3$. (0,25 điểm)

+ TH3: Trận đấu có 5 séc
Khi đó, Bắc thua đúng 2 trong 4 séc đầu và thắng ở séc thứ 5
Số cách chọn 2 trong 4 séc đầu để Bắc thua là $C_4^2$, suy ra xác suất là $C_4^2.(0,4{)}^2.(0,6{)}^3$.
Vậy xác suất để Bắc thắng chung cuộc là:
$P=(0,6{)}^3+C_3^1.0,4.(0,6{)}^3+C_4^2.(0,4{)}^2.(0,6{)}^3\approx 0,68$. (0,25 điểm)