a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có b) Trong một bài kiểm tra thường xuyên với thang điểm 10, đề kiểm tra gồm có 25 câu hỏi theo hình thức trắc

Question

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ , ta có
$C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} + 3 C_{n}^{3} + \dots + n C_{n}^{n} = n . 2^{n - 1}$

b) Trong một bài kiểm tra thường xuyên với thang điểm 10, đề kiểm tra gồm có 25 câu hỏi theo hình thức trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Để hạn chế việc học sinh không biết mà vẫn chọn đáp án, “mỗi câu chọn đúng được 0,4 điểm; chọn sai bị trừ 0,1 điểm”.

Giả sử có một học sinh làm chắc chắn đúng được 18 câu, các câu còn lại học sinh này chọn ngẫu nhiên một phương án. Xác suất để điểm toàn bài của học sinh này trên 8,5 điểm là bao nhiêu?

Đề Thi Chuẩn · Accepted Answer

Đáp án đúng: Tự luận. Lời giải chi tiết: a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: Cách 1: Sử dụng đạo hàm • Xét khai triển nhị thức Newton: (1+x) n = k=0 n C n k x k = C n 0 + C n 1 x + C n 2 x 2 + + C n n x n. • Lấy đạo hàm hai vế theo x: n(1+x) n-1 = C n 1 + 2C n 2 x + 3C n 3 x 2 + + nC n n x n-1 . • Thay x=1 vào đẳng thức trên, ta được: n 2 n-1 = C n 1 + 2C n 2 + 3C n 3 + + nC n n (đpcm). Cách 2: Sử dụng công thức số hạng tổng quát • Ta có: k C n k = k n! k!(n-k)! = n! (k-1)!(n-k)! = n (n-1)! (k-1)!(n-1-(k-1))! = n C n-1 k-1 . • Khi đó: k=1 n k C n k = k=1 n n C n-1 k-1 = n k=1 n C n-1 k-1 . • Mà k=1 n C n-1 k-1 = C n-1 0 + C n-1 1 + + C n-1 n-1 = 2 n-1 . • Suy ra tổng bằng n 2 n-1 . b) Bài toán xác suất • Điểm từ 18 câu chắc chắn đúng: 18 0 , 4 = 7 , 2 điểm. • Số câu còn lại: 25 - 18 = 7 câu. Để điểm toàn bài > 8 , 5, số điểm từ 7 câu này phải > 1 , 3. • Gọi k là số câu chọn đúng trong 7 câu (0 k 7). Số câu sai là 7-k. • Tổng điểm từ 7 câu: 0,4k - 0,1(7-k) = 0,5k - 0,7. • Điều kiện: 0,5k - 0,7 > 1,3 0,5k > 2,0 k > 4. Vậy k \ 5,6,7\ . • Xác suất đúng 1 câu là p = 1/4 = 0,25. • Xác suất cần tìm: P = C 7 5(0,25) 5(0,75) 2 + C 7 6(0,25) 6(0,75) 1 + C 7 7(0,25) 7 = 211 16384 0,01288.

Đề Thi Học Sinh Giỏi THPT Khánh Hòa Toán 2025-2026

Các câu hỏi khác trong đề (5 câu)

Bài tập trắc nghiệm cùng chuyên đề: Đẳng thức tổ hợp từ khai triển Newton (18 câu)