Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số: $u_n=\frac{2n-1}{n+3};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 59: Xét dãy số $u_n=\frac{2n-1}{n+3};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

**Tính tăng giảm:**
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+4}-\frac{2n-1}{n+3}=\frac{(2n+1)(n+3)-(2n-1)(n+4)}{(n+4)(n+3)}=\frac{(2n^2+7n+3)-(2n^2+7n-4)}{(n+4)(n+3)}=\frac{7}{(n+3)(n+4)}>0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy tăng.

**Tính bị chặn:**
Ta có $u_n=\frac{2n-1}{n+3}=\frac{2(n+3)-7}{n+3}=2-\frac{7}{n+3}$.
Vì $n\ge 1$ nên $n+3\ge 4>0$, suy ra $0<\frac{7}{n+3}\le \frac{7}{4}$, do đó $\frac{1}{4}\le u_n<2$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (cụ thể $u_1=\frac{1}{4}$ là số hạng nhỏ nhất vì dãy tăng).
Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn (bị chặn dưới bởi $\frac{1}{4}$ và bị chặn trên bởi $2$).

**Kết luận:** Dãy số $u_n=\frac{2n-1}{n+3}$ là dãy tăng và bị chặn.