Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a). $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}$

b). $u_n=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}$

c). $u_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

d). $u_n=\frac{1}{1.4}+\frac{1}{2.5}+...+\frac{1}{n(n+3)}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 60: Xét tính bị chặn của các dãy số.

a) $u_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$. Vì $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ nên $u_n=1-\frac{1}{n+1}$. Với mọi $n\ge 1$: $\frac{1}{2}\le u_n<1$, do đó dãy bị chặn (bị chặn dưới bởi $\frac{1}{2}$, bị chặn trên bởi $1$).

b) $u_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k^2}$. Dãy tăng nên $u_n\ge u_1=1$. Mặt khác với $k\ge 2$: $\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$, nên $u_n\le 1+\left(1-\frac{1}{n}\right)=2-\frac{1}{n}<2$. Vậy $1\le u_n<2$: dãy bị chặn.

c) $u_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$. Vì $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$ nên $u_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)$. Với mọi $n\ge 1$: $\frac{1}{3}\le u_n<\frac{1}{2}$, do đó dãy bị chặn.

d) $u_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k(k+3)}$. Vì $\frac{1}{k(k+3)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+3}\right)$ nên $u_n=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)=\frac{11}{18}-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right)$. Với mọi $n\ge 1$: $u_1=\frac{1}{4}$ và $u_n<\frac{11}{18}$, do đó $\frac{1}{4}\le u_n<\frac{11}{18}$: dãy bị chặn.

Kết luận: cả bốn dãy a), b), c), d) đều bị chặn.