Xét tính bị chặn của các dãy số sau

a) $u_n=\frac{1}{2n^2-1}$.

b) $u_n=3.\cos \frac{nx}{3}$.

c) $u_n=2n^3+1$.

d) $u_n=\frac{n^2+2n}{n^2+n+1}$.

e) $u_n=n+\frac{1}{n}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 58: Xét tính bị chặn của các dãy số.

a) $u_n=\frac{1}{2n^2-1}$. Với $n\ge 1$ ta có $2n^2-1\ge 1>0$ nên $0<u_n\le 1$ (với $n=1$, $u_1=1$). Vậy dãy số bị chặn.

b) $u_n=3\cos \frac{nx}{3}$. Vì $-1\le \cos \frac{nx}{3}\le 1$ với mọi $n$ nên $-3\le u_n\le 3$. Vậy dãy số bị chặn (bị chặn trên bởi 3 và bị chặn dưới bởi $-3$).

c) $u_n=2n^3+1\ge 2\cdot 1^3+1=3$ với mọi $n$, nên dãy bị chặn dưới (bởi 3). Nhưng $u_n\to +\infty$ khi $n\to +\infty$ (ví dụ $u_n>2n^3\to \infty$), nên dãy không bị chặn trên. Vậy dãy không bị chặn.

d) $u_n=\frac{n^2+2n}{n^2+n+1}$. Ta có $u_n=1+\frac{n-1}{n^2+n+1}$. Với $n\ge 1$ thì $0\le \frac{n-1}{n^2+n+1}<\frac{n}{n^2}\le \frac{1}{n}\le 1$, do đó $1\le u_n<2$. Vậy dãy bị chặn.

e) $u_n=n+\frac{1}{n}\ge 1+1=2$ với mọi $n$, nên dãy bị chặn dưới (bởi 2). Nhưng $u_n\ge n\to +\infty$, nên dãy không bị chặn trên. Vậy dãy không bị chặn.

Kết luận: a) bị chặn; b) bị chặn; c) chỉ bị chặn dưới, không bị chặn; d) bị chặn; e) chỉ bị chặn dưới, không bị chặn.