Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:

1). Dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=2n^3-5n+1$

2). Dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=3^n-n$.

3). Dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{n}{n^2+1}$.

4). Dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 57: Xét tính tăng giảm của các dãy số.

1) $u_n=2n^3-5n+1$. Ta có
$$u_{n+1}-u_n=2(n+1{)}^3-5(n+1)+1-(2n^3-5n+1)=6n^2+6n-3=3(2n^2+2n-1).$$
Với $n\ge 1$ thì $2n^2+2n-1\ge 2+2-1=3>0$, nên $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n$. Vậy dãy số tăng.

2) $u_n=3^n-n$. Ta có
$$u_{n+1}-u_n=3^{n+1}-(n+1)-(3^n-n)=2\cdot 3^n-1>0$$
với mọi $n\ge 1$ (vì $2\cdot 3^n-1\ge 5>0$). Vậy dãy số tăng.

3) $u_n=\frac{n}{n^2+1}$. Ta có
$$u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{(n+1{)}^2+1}-\frac{n}{n^2+1}=\frac{(n+1)(n^2+1)-n(n^2+2n+2)}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}=\frac{-n^2-n+1}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}.$$
Với $n\ge 1$ thì $-n^2-n+1\le -1<0$, nên $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n$. Vậy dãy số giảm.

4) $u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}>0$ với mọi $n$. Xét tỉ số
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{n}}\le \frac{\sqrt{2}}{2}<1.$$
Suy ra $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n$. Vậy dãy số giảm.

Kết luận: 1) tăng; 2) tăng; 3) giảm; 4) giảm.