Câu 58: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) $u_n=\frac{1}{2n^2-1}$.
b) $u_n=3\cos \frac{nx}{3}$.
c) $u_n=2n^3+1$.
d) $u_n=\frac{n^2+2n}{n^2+n+1}$.
e) $u_n=n+\frac{1}{n}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 58: Xét tính bị chặn của từng dãy. Lưu ý: bản in nguồn ở mục b) là $u_n=3\cos \frac{nx}{3}$ (không có ký hiệu $\pi$), có thể là lỗi in của $\frac{n\pi }{3}$; ở đây giữ nguyên như nguồn. Dù với biểu thức nào, ta luôn có $-1\le \cos t\le 1$ nên kết luận bị chặn không đổi.

a) $u_n=\frac{1}{2n^2-1}$. Với mọi $n\ge 1$ ta có $2n^2-1\ge 1>0$ nên $0<u_n\le u_1=1$ (dãy giảm vì mẫu số tăng). Vậy dãy bị chặn: $0<u_n\le 1$.

b) $u_n=3\cos \frac{nx}{3}$ (nguồn in; khả năng là $3\cos \frac{n\pi }{3}$). Với mọi $n$ ta có $-1\le \cos \frac{nx}{3}\le 1$ nên $-3\le u_n\le 3$. Do đó dãy bị chặn.

c) $u_n=2n^3+1$. Dãy đơn điệu tăng và $u_n\ge u_1=3$ nhưng $u_n\to +\infty$ khi $n\to \infty$, nên dãy không bị chặn trên, tức không bị chặn.

d) $u_n=\frac{n^2+2n}{n^2+n+1}=1+\frac{n-1}{n^2+n+1}$. Với $n\ge 1$: $u_n\ge 1$. Đặt $f(n)=\frac{n-1}{n^2+n+1}$, ta có $f(1)=0,f(2)=\frac{1}{7},f(3)=\frac{2}{13},f(4)=\frac{3}{21}=\frac{1}{7},f(5)=\frac{4}{31}<\frac{1}{7}$. Nói chung, với $f(n+1)=\frac{n}{n^2+3n+3}$:
$$f(n+1)-f(n)=\frac{n(n^2+n+1)-(n-1)(n^2+3n+3)}{(n^2+n+1)(n^2+3n+3)}=\frac{-n^2+n+3}{(n^2+n+1)(n^2+3n+3)},$$
tử số $-n^2+n+3>0$ khi $n=1,2$ và $-n^2+n+3<0$ khi $n\ge 3$, tức $f(n)$ tăng đến $n=3$ rồi giảm. Vậy $\max f(n)=f(3)=\frac{2}{13}$, suy ra $1\le u_n\le 1+\frac{2}{13}=\frac{15}{13}$. Dãy bị chặn.

e) $u_n=n+\frac{1}{n}$. Dãy đơn điệu tăng và $u_n\to +\infty$, nên dãy không bị chặn trên, tức không bị chặn.

Kết luận: các dãy a), b), d) bị chặn; các dãy c), e) không bị chặn.