Vào rạng sáng ngày 1/1/2025, hệ thống phòng thủ hành tinh phát hiện một thiên thạch lớn có tên là 2025-XH3 đang di chuyển hướng từ vị trí $A(-60;-45;-10)$ đến vị trí $B(-20;-15;0)$ trong một hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp (đơn vị: nghìn km). Các nhà khoa học từ Trái Đất cho rằng thiên thạch chuyển động thẳng đều và sẽ đến vị trí B vào rạng sáng ngày 19/1/2025. Giả sử bề mặt Trái Đất được mô hình hóa là một mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2=6,4^2$.

Bán kính mặt cầu tâm $I(1;3;5)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1-t\\ z=2-t\end{array}$ là

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có tâm là $I(2;5;3)$ và cắt đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho chu vi tam giác $IAB$ bằng $10+2\sqrt{7}$. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu $(S)$?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=8$. Đường thẳng $d$ thay đổi, đi qua điểm $M$, cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn nhất $S$ của tam giác $OAB$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=4$ và điểm $M(2;2;1)$. Một đường thẳng thay đổi qua $M$ và cắt $(S)$ tại hai điểm $A,B$. Khi biểu thức $T=MA+4MB$ đạt giá trị nhỏ nhất thì đoạn thẳng $AB$ có giá trị bằng

Cho đường thẳng  cắt mặt cầu S ( O; R ) . Gọi d là khoảng cách từ O đến  . Khẳng định nào
dưới đây đúng?

Ngày 31-7-2016, Tổng công ty Quản lý bay Việt Nam đã làm lễ khánh thành và đưa vào sử dụng trạm rađa thứ hai tại Sơn Trà và hệ thống xử lý dữ liệu rađa tại Trung tâm điều hành bay Đà Nẵng. Trạm rađa thứ hai đưa vào hoạt động tăng cường công tác quản lý vùng trời, bảo đảm vững chắc an ninh chủ quyền của Tổ quốc. Trạm rađa thứ hai và hệ thống xử lý dữ liệu rađa ở Trung tâm điều hành bay Đà Nẵng có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc bảo đảm hoạt động bay, góp phần giám sát, quản lý vùng trời, bảo đảm vững chắc an ninh chủ quyền của Tổ quốc. Với bán kính giám sát lên tới $450\text{ km}$. (Theo tuoitre.vn)

Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là $1\text{ km}$), Trạm rađa thứ hai ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $450\text{ km}$. Một máy bay $A$ đang chuyển động theo đường thẳng $d$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=150+t\\ y=300-t\\ z=300\end{array}$, $(0\le t\le 300)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (hình vẽ).



Hỏi quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu dài bao nhiêu km? (Làm tròn tới hàng đơn vị)