Một bể cá hình trụ thủy tinh có bán kính đáy bằng $6\text{ dm}$, chiều cao bằng $5\text{ dm}$; bên trong bể cá người ta đặt một vật trang trí là khối nón đặc (đỉnh hình nón sẽ được bố trí vòi bơm nước cho bể cá), đáy hình nón có bán kính bằng $3\text{ dm}$ và có tâm trùng với đáy hình trụ, chiều cao hình nón bằng với chiều cao hình trụ. Người ta bơm nước vào bể với tốc độ $0,5\text{ lıˊt/phuˊt}$; đến phút thứ 40 thì tốc độ dâng lên của nước là bao nhiêu cm/phút (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong một dự án khai thác khí đốt, gọi $t$ (tháng) là thời gian tính từ thời điểm bắt đầu khai thác, với $0\le t\le 400$. Tốc độ khai thác khí đốt tại thời điểm $t$ được cho bởi hàm số $V^{\prime }(t)=400-t$ (đơn vị: nghìn ${\text{m}}^3$/tháng), trong đó $V(t)$ là tổng lượng khí đã khai thác được từ lúc bắt đầu đến thời điểm $t$ (đơn vị: nghìn ${\text{m}}^3$), $V(0)=0$. Để đơn giản hóa việc tính toán, đơn giá bán khí đốt tại thời điểm $t$ được mô hình hóa bởi hàm số $P(t)=10+0,02t$ (đơn vị: triệu đồng/nghìn ${\text{m}}^3$).

Mặt bể bơi của một dự án chung cư cao cấp có dạng một hình chữ nhật với chiều dài 25m và chiều rộng 8m. Bể bơi sâu 1m ở bên đầu nông và sâu 2m bên đầu sâu. Biết hai đầu nông, sâu thuộc hai bên theo chiều dài của bể bơi (tham khảo hình vẽ minh họa). Ban đầu bể không có nước, nước bắt đầu được bơm vào bể lúc 7 giờ sáng với tốc độ $1{\text{ m}}^3$ mỗi phút. Vào lúc 7 giờ 36 phút sáng thì mực nước dâng lên với tốc độ $\frac{1}{a}\text{ m/phuˊt}$. Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Câu 3. Tốc độ giải ngân $2$ tỷ tiền trợ cấp $M^{\prime }(t)$ dành cho 1 vùng $A$ bị thiệt hại về lũ lụt tỉ lệ thuận với bình phương của $(100-t)$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng ngày ($0\le t\le 100$) và $M(t)$ là số tiền còn lại chưa giải ngân sau $t$ ngày. Hỏi số tiền còn lại chưa giải ngân sau $40$ ngày là bao nhiêu triệu đồng, biết rằng toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân trong $100$ ngày.

Một hệ thống pin năng lượng mặt trời gồm các tấm pin được kết nối với một bộ lưu trữ điện. Trong thời gian mặt trời chiếu sáng của một ngày, năng lượng điện thu được từ các tấm pin được lưu trong bộ lưu trữ điện. Gọi $F(t)$ là năng lượng điện ($\text{kWh}$) lưu trữ được kể từ thời điểm hệ thống bắt đầu hoạt động đến thời điểm $t$, trong đó $t$ là thời gian tính theo giờ $(0\le t\le 12)$ và thời điểm hệ thống bắt đầu hoạt động ứng với $t=0$. Biết rằng $F(0)=0$.
Tốc độ lưu trữ năng lượng điện ($\text{kW}$) của hệ thống này là hàm số $f(t)=F^{\prime }(t)$ với $0\le t\le 12$. Số liệu ghi nhận được ở một ngày cụ thể trong năm cho thấy $f(t)=-0,3t^2+3,6t$ với $0\le t\le 12$.

Câu 3. Một viên pin dự phòng có dung lượng thiết kế là $10000\text{ mAh}$ đang vừa sạc vừa cấp điện cho một thiết bị khác. Trong quá trình này, các kĩ sư sử dụng một mô hình gần đúng để mô tả tại thời điểm $t$ phút ($t\ge 0$) kể từ khi khảo sát như sau:
- Tốc độ nạp điện vào pin là $f(t)=250e^{-0,01t}\text{ (mAh/phuˊt)}$.
- Do thiết bị hoạt động và hao phí trên mạch điện nên điện tích bị tiêu hao. Tốc độ tiêu hao là $g(t)=10e^{0,04t}\text{ (mAh/phuˊt)}$.
Gọi $Q(t)$ là lượng điện tích tích lũy được trong pin tại thời điểm $t$ phút kể từ khi bắt đầu khảo sát. Biết rằng tốc độ biến thiên của $Q(t)$ là $Q^{\prime }(t)=f(t)-g(t)$ và tại thời điểm ban đầu, lượng điện tích tích lũy bằng 0.

Những ngày giáp Tết Nguyên Đán cũng là dịp bước vào vụ Đông Xuân, cây lúa sau khi được cấy trải qua quá trình tăng trưởng đẻ nhánh và phát triển chiều cao trước khi làm đòng, trổ bông. Qua nghiên cứu một giống lúa mới, các nhà khoa học nhận thấy một cây lúa tính từ lúc được cấy bằng một cây mạ với chiều cao $15\text{ cm}$ có tốc độ tăng trưởng chiều cao cho bởi hàm số $v(t)=-0,3t^3+2,2t^2$, trong đó $t$ tính theo tuần, $v(t)$ tính bằng $\text{cm}$/tuần. Gọi $h(t)$ là chiều cao của cây lúa ở tuần thứ $t$ $(t\ge 0,t\in \mathbb{R})$. Biết rằng khi đạt chiều cao lớn nhất cây lúa sẽ dừng phát triển chiều cao để tập trung dinh dưỡng nuôi bông. Tính chiều cao lớn nhất của cây lúa (đơn vị $\text{cm}$, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).