Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, phương trình đường thẳng $BC$ là $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$, các đỉnh $A$ và $B$ thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

Ta có $B$ là giao điểm của đường thẳng $BC$ và trục hoành nên $B(1;0)$.

Vì $C$ thuộc đường thẳng $BC$ nên $C\left(c;\sqrt{3}c-\sqrt{3}\right)$ với $c\ne 1$.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $A$ thuộc trục hoành nên $A$ là hình chiếu của $C$ trên trục hoành. Suy ra $A(c;0)$.

Khi đó: $AB=|c-1|$, $AC=\sqrt{3}|c-1|$, $BC=2|c-1|$.

Tam giác $ABC$ có diện tích là $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}|c-1|\cdot \sqrt{3}|c-1|=\frac{\sqrt{3}}{2}(c-1{)}^2$ và nửa chu vi là $p=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)=\frac{1}{2}\left(|c-1|+\sqrt{3}|c-1|+2|c-1|\right)=\frac{3+\sqrt{3}}{2}|c-1|$.

Ta có bán kính đường tròn nội tiếp là $r=2$.

Khi đó:
$$S=pr$$
$$\iff \frac{\sqrt{3}}{2}(c-1{)}^2=\frac{3+\sqrt{3}}{2}|c-1|\cdot 2$$
$$\iff (c-1{)}^2=2\left(\sqrt{3}+1\right)|c-1|$$
$$\iff \{\begin{array}{l}|c-1|=0(loại)\\ |c-1|=2\left(\sqrt{3}+1\right)\end{array}$$
$$\iff \{\begin{array}{l}c-1=2\left(\sqrt{3}+1\right)\\ c-1=-2\left(\sqrt{3}+1\right)\end{array}$$
$$\iff \{\begin{array}{l}c=2\sqrt{3}+3\\ c=-2\sqrt{3}-1\end{array}$$

Với $c=2\sqrt{3}+3$ thì $C\left(2\sqrt{3}+3;6+2\sqrt{3}\right)$, $A\left(2\sqrt{3}+3;0\right)$. Khi đó trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G\left(\frac{7+4\sqrt{3}}{3};\frac{6+2\sqrt{3}}{3}\right)$.

Với $c=-2\sqrt{3}-1$ thì $C\left(-2\sqrt{3}-1;-6-2\sqrt{3}\right)$, $A\left(-2\sqrt{3}-1;0\right)$. Khi đó trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G\left(-\frac{1+4\sqrt{3}}{3};-\frac{6+2\sqrt{3}}{3}\right)$.