Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh 1. Cạnh bên $SB$ vuông góc với đáy và $SB=2$. Gọi $N$ là trung điểm của $BC$. Điểm $E$ thuộc cạnh $SA$ sao cho $SE=2EA$. Gọi $F$ là trọng tâm của tam giác $ACD$, $P$ là trung điểm $SN$. Mặt phẳng $(EFP)$ cắt $AD$ tại $G$, cắt $CD$ tại $H$.

a) Gọi $\alpha =\left[S,NA,D\right]$, tính $\tan \alpha$.

b) Tính thể tích khối chóp $S.DHG$.

a) Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $CD$, $AB$. Gọi $M$ là giao điểm của $BI$ và $NA$.

Dễ thấy $BI\perp NA$, $DJ\perp NA$ và $BI\parallel DJ$.

Ta có $NA\perp BI$, $NA\perp SB$ nên $NA\perp (SBI)$. Suy ra $NA\perp SG$.

Do đó $\alpha =[S,NA,D]=[S,NA,I]=\widehat{SMI}$.

Mà $\widehat{SMI}$ và $\widehat{SMB}$ là hai góc kề bù nên $\tan \alpha =-\tan \widehat{SMB}=-\frac{SB}{BM}$.

Ta có: $AN=\sqrt{A{B}^2+B{N}^2}=\sqrt{1^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. (Lưu ý: bản gốc in $AN=\sqrt{A{B}^2+A{N}^2}$ — lỗi đánh máy của nguồn, dạng đúng là $\sqrt{A{B}^2+B{N}^2}$.)

Suy ra $BM=\frac{AB.BN}{AN}=\frac{1.\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$. Suy ra $\tan \alpha =-\frac{2}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=-2\sqrt{5}$.

b) Trong $(SAN)$ gọi $K$ là giao điểm của $PE$ và $AN$.

Gọi $G$, $H$ lần lượt là giao điểm của $FK$ với $AD$, $CD$.

Khi đó mặt phẳng $(EFP)$ cắt $AD$ tại $G$, cắt $CD$ tại $H$.

Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác $SAN$, ta có:
$$\frac{PS}{PN}\cdot \frac{KN}{KA}\cdot \frac{EA}{ES}=1$$
$$\iff 1\cdot \frac{KN}{KA}\cdot \frac{1}{2}=1$$
$$\iff \frac{KN}{KA}=2$$

Do đó $A$ là trung điểm của $KN$.

Xây dựng mặt phẳng tọa độ Oxy trong mặt đáy $(ABCD)$, ta tính được $DG=\frac{5}{8}$, $DH=\frac{5}{7}$.

Do đó thể tích khối chóp $S.DHG$ bằng
$$\frac{1}{3}.SB.S_{△DGH}=\frac{1}{3}.SB.\frac{1}{2}.DG.DH=\frac{1}{3}.2.\frac{1}{2}.\frac{5}{8}.\frac{5}{7}=\frac{25}{168}.$$