Giải phương trình $\frac{x^3+3x^2-4x+1}{x^2+3}=\sqrt{x^2-x+1}$.

Phương trình tương đương với

$$x+3-\frac{7x+8}{x^2+3}=\sqrt{x^2-x+1}$$

$$\iff x+3-\sqrt{x^2-x+1}-\frac{7x+8}{x^2+3}=0$$

$$\iff \frac{(x+3{)}^2-\left(x^2-x+1\right)}{x+3+\sqrt{x^2-x+1}}-\frac{7x+8}{x^2+3}=0$$

$$\iff \frac{7x+8}{x+3+\sqrt{x^2-x+1}}-\frac{7x+8}{x^2+3}=0$$

$$\iff (7x+8)\left(\frac{1}{x+3+\sqrt{x^2-x+1}}-\frac{1}{x^2+3}\right)=0$$

$$\iff \{\begin{array}{l}7x+8=0\\ \frac{1}{x+3+\sqrt{x^2-x+1}}-\frac{1}{x^2+3}=0\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{7}{8}\\ x+3+\sqrt{x^2-x+1}=x^2+3(\ast )\end{array}$$

(*) tương đương với $\sqrt{x^2-x+1}=x^2-x(\ast \ast )$.

Đặt $t=\sqrt{x^2-x+1}$ với $t\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ ta được $x^2-x=t^2-1$.

(**) trở thành

$$t=t^2-1$$

$$\iff -t^2+t+1=0$$

$$\iff \{\begin{array}{l}t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(nhận)\\ t=\frac{1-\sqrt{5}}{2}(loại)\end{array}$$

Khi đó:

$$\sqrt{x^2-x+1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

$$\iff x^2-x+1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$

$$\iff x^2-x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}=0$$

$$\iff x=\frac{1\pm \sqrt{3+2\sqrt{5}}}{2}$$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{-\frac{7}{8};\frac{1\pm \sqrt{3+2\sqrt{5}}}{2}\right\}$.