Giải phương trình $\frac{x^3+3x^2-4x+1}{x^2+3}=\sqrt{x^2-x+1}$.

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 150 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x)=231-0,02x^2$ (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=150+15x$ (triệu đồng). Hỏi A bán cho B bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận cao nhất?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, phương trình đường thẳng $BC$ là $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$, các đỉnh $A$ và $B$ thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh 1. Cạnh bên $SB$ vuông góc với đáy và $SB=2$. Gọi $N$ là trung điểm của $BC$. Điểm $E$ thuộc cạnh $SA$ sao cho $SE=2EA$. Gọi $F$ là trọng tâm của tam giác $ACD$, $P$ là trung điểm $SN$. Mặt phẳng $(EFP)$ cắt $AD$ tại $G$, cắt $CD$ tại $H$.

a) Gọi $\alpha =\left[S,NA,D\right]$, tính $\tan \alpha$.

b) Tính thể tích khối chóp $S.DHG$.

Lớp 12A có 50 quyển vở giống nhau để tặng cho 5 học sinh có thành tích xuất sắc trong đợt thi đua học kì 1, sao cho học sinh nào cũng được tặng vở. Tính xác suất để không có học sinh nào nhận được số quyển vở là một số chia hết cho 3.