Lớp 12A có 50 quyển vở giống nhau để tặng cho 5 học sinh có thành tích xuất sắc trong đợt thi đua học kì 1, sao cho học sinh nào cũng được tặng vở. Tính xác suất để không có học sinh nào nhận được số quyển vở là một số chia hết cho 3.

Gọi $A$ là biến cố “Không có học sinh nào nhận được số quyển vở là một số chia hết cho 3”.

Gọi $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ là số quyển vở mà 5 học sinh nhận được.

Ta có: $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=50$ và $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Theo bài toán chia kẹo Euler, ta có $n(\Omega )=C_{49}^4$.

Đặt $x_1=3y_1+r_1$, $x_2=3y_2+r_2$, $\dots$, $x_5=3y_5+r_5$ với $y_i$ và $r_i$ lần lượt là thương và số dư của phép chia $x_i$ cho 3.

Ta có $y_i\in \mathbb{N}$, $r_i=1$ hoặc $r_i=2$ với $1\le i\le 5$.

Ta được:
$$(3y_1+r_1)+(3y_2+r_2)+\dots +(3y_5+r_5)=50$$
$$\iff 3(y_1+y_2+\dots +y_5)+(r_1+r_2+\dots +r_5)=50$$

Mà 50 chia 3 dư 2 nên $r_1+r_2+\dots +r_5$ chia 3 dư 2.

Mà $5\le r_1+r_2+\dots +r_5\le 10$ nên $r_1+r_2+\dots +r_5=5$ hoặc $r_1+r_2+\dots +r_5=8$.

Với $r_1+r_2+\dots +r_5=5$ thì $r_1=r_2=\dots =r_5=1$. Khi đó
$$3(y_1+y_2+\dots +y_5)+5=50$$
$$\iff y_1+y_2+\dots +y_5=15$$
$$\iff (y_1+1)+(y_2+1)+\dots +(y_5+1)=20$$

Suy ra có $C_{19}^4$ bộ số $(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5)$. Suy ra có $C_{19}^4$ cách chọn.

Với $r_1+r_2+\dots +r_5=8$. Suy ra trong các số $r_1,r_2,r_3,r_4,r_5$ có 3 số bằng 2 và 2 số bằng 1. Suy ra có $C_5^3$ cách chọn.

Với mỗi bộ số $(r_1,r_2,r_3,r_4,r_5)$, ta được:
$$3(y_1+y_2+\dots +y_5)+8=50$$
$$\iff y_1+y_2+\dots +y_5=14$$
$$\iff (y_1+1)+(y_2+1)+\dots +(y_5+1)=19$$

Suy ra có $C_{18}^4$ bộ số $(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5)$. Suy ra có $10.C_{18}^4$ cách chọn.

Vậy $n(A)=C_{19}^4+C_5^3{C}_{18}^4$.

Do đó xác suất của biến cố $A$ là:
$$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{C_{19}^4+C_5^3{C}_{18}^4}{C_{49}^4}.$$