Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $A(2,-1)$, $B(3,1)$, $M(3;0)$, $F(4;0)$.

a) Viết phương trình đường tròn $(C)$ nhận $A$ làm tâm và đi qua $B$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $AB$.

c) Lập phương trình chính tắc của Hypebol, biết Hypebol đi qua điểm $M$ và nhận $F$ làm tiêu điểm.

Một trạm thu phát sóng điện thoại di động của Viettel được mô hình hóa trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét) được đặt ở vị trí $I(-2;1)$ với bán kính phủ sóng $3km$. Anh Khoa di chuyển từ vị trí $M(-4;6)$ đến vị trí $N(3;-1)$.

Ném đĩa là một môn thể thao. Khi thực hiện cú ném, vận động viên thường quay lưng lại với hướng ném, sau đó xoay ngược chiều kim đồng hồ một vòng rưỡi của đường tròn để lấy đà rồi thả tay ra khỏi đĩa. Giả sử đĩa chuyển động trên một đường tròn $(C):(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=10$ mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên hai trục là mét). Đến điểm $M(4;4)$, đĩa được ném đi. Trong những giây đầu tiên ngay sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa có phương trình có dạng $ax+3y+c=0$. Khi đó $a-c$ bằng bao nhiêu?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A(1,-2)$, $B(3,-1)$, $M(4;0)$, $F(5;0)$.

a) Viết phương trình đường tròn $(C)$ nhận $A$ làm tâm và đi qua $B$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $AB$.

c) Lập phương trình chính tắc của Hypebol, biết Hypebol đi qua điểm $M$ và nhận $F$ làm tiêu điểm.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $d_1:\sqrt{3}x+y=0$ và $d_2:\sqrt{3}x-y=0$. Gọi $(C)$ là đường tròn tiếp xúc với $d_1$ tại A, cắt $d_2$ tại hai điểm $B,C$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Viết phương trình của $(C)$, biết tam giác $ABC$ có diện tích bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ và điểm $A$ có hoành độ dương.

Đèo Hải Vân là ranh giới tự nhiên của thành phố Đà Nẵng và thành phố Huế. Hầm được khởi công ngày 27/8/2000 và khánh thành ngày 5/6/2005. Đây là hầm đường bộ dài nhất, hiện đại nhất Đông Nam Á và là một trong 30 đường hầm dài nhất trên thế giới. Trong kiến trúc, vòm hầm thường có dạng nửa đường tròn để chịu lực tốt nhất. Trong mô hình mặt cắt ngang của hầm, cổng vòm được ghép bởi các cung vật liệu tốt chịu lực tạo thành các cung AB, BC, CD, EF, FG, GH bằng nhau và một cung chốt ở đỉnh. Giả sử khẩu độ (đường kính) của vòm hầm là $AH=12$ m. Từ điểm B hạ đường vuông góc xuống AH tại K, biết $BK=2,8$ m. Biết rằng hình chữ nhật MNFC có MN là khoảng cách an toàn cho hai làn xe chạy, CM là chiều cao giới hạn cho phép các xe lưu thông (Xem hình minh họa). Tính chiều cao CM theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Người ta xây một sân khấu với sân có dạng của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 m và 15 m. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 m. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 nghìn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 nghìn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân khấu gần nhất với giá trị nào sau đây?