Người ta xây một sân khấu với sân có dạng của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 m và 15 m. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 m. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 nghìn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 nghìn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân khấu gần nhất với giá trị nào sau đây?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O_1$ có bán kính $R=20$ m, $O_2$ có bán kính $r=15$ m, $O_1{O}_2=30$ m. Giao tuyến $AB$ cắt $O_1{O}_2$ tại $H$.

Khoảng cách từ $O_2$ đến dây $AB$: $O_{2}H=\frac{d^2+r^2-R^2}{2d}=\frac{900+225-400}{60}=\frac{725}{60}\approx 12,083$ m; suy ra $O_{1}H=30-12,083=17,917$ m. Nửa dây $AH=\sqrt{20^2-17,917^2}\approx 8,888$ m.

Diện tích phần giao nhau (hình thuỳ + hình tam giác, nhân 2):
- Tại $O_1$: $\cos \alpha =\frac{17,917}{20}=0,8958\Rightarrow \alpha \approx 0,4604$ rad; diện tích = $2\left(\frac{1}{2}{R}^2\cdot 2\alpha -\frac{1}{2}{R}^2\sin 2\alpha \right)=R^2(2\alpha -\sin 2\alpha )\approx 400(0,9209-0,7961)\approx 49,9$ m².
- Tại $O_2$: $\cos \beta =\frac{12,083}{15}=0,8056\Rightarrow \beta \approx 0,6342$ rad; diện tích $=r^2(2\beta -\sin 2\beta )\approx 225(1,2683-0,9541)\approx 70,7$ m².

Vậy $S_{giao}\approx 49,9+70,7\approx 60,3$ m² (kiểm tra: $2\cdot \frac{1}{2}\cdot 30\cdot 8,888\approx 266,6$; $184,2+142,7-266,6\approx 60,3$ m²).

Diện tích mỗi hình tròn: $S_1=400\pi \approx 1256,64$ m², $S_2=225\pi \approx 706,86$ m².

Phần giao nhau làm với giá 300 nghìn đồng/m²; phần còn lại của mỗi hình tròn (tức $S_1+S_2-2S_{giao}$) làm với giá 100 nghìn đồng/m². Số tiền:
$$T=0,3\cdot 60,3+0,1(1256,64+706,86-2\cdot 60,3)\approx 18,1+184,3\approx 202,4\text{ triệu đoˆˋng.}$$

Vậy số tiền gần nhất là $202,4$ triệu đồng, khớp với đáp án A của đề.