Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ và $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đường cao SO vuông góc với $(ABCD)$.

b) Sai. $OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ nên $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}\ne \frac{a^3}{3}$.

c) Đúng. Tam giác $SCD$ đều cạnh $a$ nên $S_{(SCD)}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Vì $V_{S.ACD}=\frac{V}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$ nên $d(A,(SCD))=\frac{3V_{S.ACD}}{S_{(SCD)}}=\frac{\frac{a^3\sqrt{2}}{4}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

d) Sai. Tọa độ hóa: $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$. Mặt phẳng $(P)$ qua $S$, song song $BD$, cắt $OC$ tại $M=O+t\overrightarrow{OC}$ với $0<t<1$, có phương trình $x+y+t\sqrt{2}z=a(1+t)$. Khoảng cách từ $A$: $\frac{a(1+t)}{\sqrt{2+t^2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$... cụ thể $\frac{1+t}{\sqrt{2}\sqrt{1+t^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow 3t^2-10t+3=0\Rightarrow t=\frac{1}{3}$. Khi đó $(P)$ cắt $BC,CD$ tại $N\left(a;\frac{a}{3};0\right)$, $L\left(\frac{a}{3};a;0\right)$, thiết diện là tam giác $SNL$; khối chứa $C$ là tứ diện $C.NLS$ có $V_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{2a^2}{9}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{27}$. Vậy $V_1=V-\frac{a^3\sqrt{2}}{27}=\frac{7a^3\sqrt{2}}{54}=\frac{7}{2}{V}_2\ne 3V_2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều có đường cao SO vuông góc với đáy (ABCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
$SO=\frac{a}{\sqrt{2}}$ nên $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}\ne \frac{a^3}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(SCD))=\frac{3V_{S.ACD}}{S_{SCD}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=\frac{1}{3}$, thiết diện là tam giác $SNL$; $V_2=\frac{a^3\sqrt{2}}{27}$, $V_1=\frac{7a^3\sqrt{2}}{54}=\frac{7}{2}{V}_2\ne 3V_2$.