Cho hàm số $f(x)=-x+\frac{1}{x}-2\ln x$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\ln x$ và $\frac{1}{x}$ yêu cầu $x>0$, nên $D=(0;+\infty )$.

b) Sai: $f^{\prime }(x)=-1-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$, không phải $1+\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}$ (dấu sai).

c) Đúng: $f\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x}+x-2\ln \frac{1}{x}=-\frac{1}{x}+x+2\ln x=-\left(-x+\frac{1}{x}-2\ln x\right)=-f(x)$.

d) Đúng: Theo c), $f\left(\frac{1}{\sin x+3}\right)=-f(\sin x+3)$ (với $\sin x+3\in [2;4]\subset (0;+\infty )$). Phương trình trở thành $f(\cos x+3)=f(\sin x+3)$. Vì $f^{\prime }(x)=-1-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}<0$ với mọi $x>0$ nên $f$ nghịch biến và đơn ánh trên $(0;+\infty )$, suy ra $\cos x+3=\sin x+3\iff \cos x=\sin x\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. Trên $[0;2\pi ]$: $x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$. Tổng $=\frac{6\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\ln x$ và $\frac{1}{x}$ xác định khi $x>0$, nên tập xác định là $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-1-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$, mệnh đề đưa ra sai dấu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(1/x)=-1/x+x+2\ln x=-f(x)$ với mọi $x>0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Dùng $f(1/t)=-f(t)$ và $f$ nghịch biến (đơn ánh) trên $(0;+\infty )$, phương trình tương đương $\cos x=\sin x$, nghiệm trên $[0;2\pi ]$ là $\pi /4$ và $5\pi /4$, tổng bằng $3\pi /2$.