Cho một lưới ô vuông $5\text{cm}\times 5\text{cm}$. Trên lưới có một vết dầu nằm ở vị trí giữa lưới như trong hình vẽ bên. Có bao nhiêu hình chữ nhật có diện tích lớn hơn $2{\text{cm}}^2$ và bị “đính vết dầu”? Lưu ý:
- Hình chữ nhật (bao gồm cả hình vuông) có các cạnh nằm trên các đường kẻ của lưới ô vuông.
- “Đính vết dầu” được hiểu là đính toàn bộ hoặc đính một phần của vết dầu.
- Ô vuông $1\text{cm}\times 1\text{cm}$ được đánh dấu ★ không đính vết dầu.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số hình chữ nhật (cạnh nằm trên đường kẻ) của lưới $5\times 5$ là ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)}^2=15^2=225$.

Số hình chữ nhật có diện tích $\le 2{\text{cm}}^2$: gồm $25$ hình $1\times 1$ và $40$ hình $1\times 2$ hoặc $2\times 1$ (mỗi loại $5\cdot 4=20$). Vậy số hình chữ nhật có diện tích lớn hơn $2{\text{cm}}^2$ là $225-25-40=160$.

Từ hình vẽ p5_f2: ô ★ là ô góc trên phải (hàng $1$, cột $5$). Vết dầu nằm ở giữa lưới, chạm toàn phần hoặc một phần mọi ô thuộc khối các ô ở hàng $2,3,4$ và cột $2,3,4,5$ (vết dầu chạm cả biên phải của lưới tại hàng giữa). Các ô không dính vết dầu là: toàn bộ hàng $1$ (gồm cả ô ★), toàn bộ hàng $5$, và toàn bộ cột $1$.

Một hình chữ nhật với khung hàng–cột $[r_1,r_2]\times [c_1,c_2]$ không dính vết dầu khi và chỉ khi khung của nó không giao với khối dính dầu (hàng $2$–$4$, cột $2$–$5$), tức là:
- Hàng chỉ là hàng $1$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$ hình;
- Hàng chỉ là hàng $5$: $15$ hình;
- Cột chỉ là cột $1$ với khung hàng bất kỳ không thuộc hai trường hợp trên: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)-2=13$ hình.

Vậy số hình chữ nhật không dính vết dầu là $15+15+13=43$.

Số hình chữ nhật có diện tích lớn hơn $2{\text{cm}}^2$ và dính vết dầu là $160-43=117$, trùng đáp án chính thức (mã đề 101, Phần III, câu 5: 117).

Kết quả: $117$.