Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{2}$ và tạo với đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+t\\ z=-2\end{array}$ một góc lớn nhất, có phương trình là $ax+by+cz-7=0$. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b+c$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có điểm $A(2;1;-1)$ và vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;2;2)$. Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{v}=(1;1;0)$.

Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ nên pháp tuyến $\vec{n}=(a;b;c)$ thỏa $\vec{n}\cdot \vec{u}=0$, tức $a+2b+2c=0$.

Góc giữa $\Delta$ và $(P)$ thỏa $\sin \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{v}|}{|\vec{n}||\vec{v}|}$. Vì $\vec{v}$ không vuông góc với $\vec{u}$ ($\vec{u}\cdot \vec{v}=3\ne 0$) nên không thể có $\theta =90^{\circ }$. Với ràng buộc $\vec{n}\perp \vec{u}$, $\sin \theta$ lớn nhất khi $\vec{n}$ cùng phương với hình chiếu của $\vec{v}$ lên mặt phẳng vuông góc với $\vec{u}$:
$${\vec{v}}_{\perp }=\vec{v}-\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}{|}^2}\vec{u}=(1;1;0)-\frac{3}{9}(1;2;2)=\left(\frac{2}{3};\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)\parallel (2;1;-2).$$

Chọn $\vec{n}=(2;1;-2)$, kiểm tra $\vec{n}\cdot \vec{u}=2+2-4=0$ ✓. Mặt phẳng qua $A(2;1;-1)$:
$$2(x-2)+(y-1)-2(z+1)=0\iff 2x+y-2z-7=0.$$

Vậy $a=2,b=1,c=-2$ và $T=a+b+c=2+1-2=1$, khớp với đáp án nguồn.