Để hỗ trợ học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, một nhóm chuyên gia đã phát triển ứng dụng trợ lý học tập $AI$. Số lượng người dùng ứng dụng sau $t$ tháng phát hành được mô hình hóa bởi hàm số:
$$f(t)=\frac{12000}{1+23e^{-0,5t}}$$
(Trong đó, thời gian $t\ge 0$ tính bằng tháng). Biết rằng hàm số $f^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng người dùng mới của ứng dụng. Sau khi phát hành bao nhiêu tháng thì tốc độ tăng trưởng người dùng của ứng dụng đạt giá trị lớn nhất? *(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)*.

Để hỗ trợ học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, một nhóm chuyên gia đã phát triển ứng dụng trợ lý học tập $AI$. Số lượng người dùng ứng dụng sau $t$ tháng phát hành được mô hình hóa bởi hàm số:
$$f(t)=\frac{12000}{1+23e^{-0,5t}}$$
(Trong đó, thời gian $t\ge 0$ tính bằng tháng). Biết rằng hàm số $f^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng người dùng mới của ứng dụng. Sau khi phát hành bao nhiêu tháng thì tốc độ tăng trưởng người dùng của ứng dụng đạt giá trị lớn nhất? *(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)*.

Người ta muốn làm một đường để tránh tảng đá lớn ở vị trí $D$. Trong quá trình khảo sát họ chọn hai vị trí $A$ và $B$ để làm con đường nhằm nối hai vị trí $A$ và $B$ đồng thời con đường luôn đi qua vị trí $M$ cố định. Giả sử con đường nối hai vị trí $A$ và $B$ là một đường thẳng và ba vị trí $A$, $M$, $B$ theo thứ tự thẳng hàng. Biết đường thẳng $\widehat{AD}$ vuông góc với đường thẳng $\widehat{BD}$ (tham khảo hình minh họa bên dưới). Nếu khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\widehat{AD}$ bằng $1km$ và khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\widehat{BD}$ bằng $8km$ thì phải chọn vị trí $A$ và vị trí $B$ cách vị trí $D$ một khoảng bao nhiêu ki lô mét để con đường $\widehat{AB}$ ngắn nhất.

Người ta muốn làm một đường để tránh tảng đá lớn ở vị trí $D$. Trong quá trình khảo sát họ chọn hai vị trí $M$ và $N$ để làm con đường nhằm nối hai vị trí $M$ và $N$ đồng thời con đường luôn đi qua vị trí $A$ cố định. Giả sử con đường nối hai vị trí $M$ và $N$ là một đường thẳng và ba vị trí $M$, $A$, $N$ theo thứ tự thẳng hàng. Biết đường thẳng $MD$ vuông góc với đường thẳng $ND$ (tham khảo hình minh họa bên dưới). Nếu khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $MD$ bằng $2km$ và khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $ND$ bằng $16km$ thì phải chọn vị trí $M$ và vị trí $N$ cách vị trí $D$ một khoảng bao nhiêu ki lô mét để con đường $MN$ ngắn nhất.

Bác Minh có một khu đất hình thang vuông $ABCD$ với $AB=100$ (m), $DC=60$ (m) và $AD=40$ (m). Bác ấy đã đào một cái ao để nuôi cá, ao được bao bởi cạnh $AB$ và một phần của đường cong $f(x)$, biết rằng $f(x)$ chứa các điểm $K$ sao cho tích khoảng cách từ $K$ đến $AD$ và $BC$ luôn bằng $600\sqrt{2}$ (m). Đồng thời Bác muốn làm một con đường đi từ điểm $M$ trên cạnh $AD$ ra một điểm $E$ trên mép ao cá, rồi lại từ điểm $E$ đó tới một điểm $F$ trên cạnh $DC$. Hỏi tổng chiều dài con đường đó ngắn nhất là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Giả sử tổng chi phí sản xuất $x$ $(0\le x\le 50)$ đơn vị sản phẩm $A$ mỗi ngày tại một nhà máy được cho bởi công thức $C(x)=\frac{x^2}{4}+3x+400$ (nghìn đồng). Tìm mức sản lượng (đó là số lượng sản phẩm được sản xuất) để chi phí trung bình tính trên mỗi đơn vị sản phẩm là đạt cực tiểu.

Bác An có khu vườn hình thang vuông ABCD với AB=40m, AD=DC=80m. Bác ấy đã đào một cái hồ để trồng sen, hồ được bao bởi cạnh DC và một phần của đường cong $(\mathcal{H})$, biết rằng $(\mathcal{H})$ chứa các điểm K sao cho tích khoảng cách từ K đến AD và BC luôn bằng $240\sqrt{5}$ m. Bác An muốn làm một con đường đi từ điểm M trên cạnh AD ra một điểm E trên mép hồ sen, rồi lại từ điểm E đó tới một điểm F trên cạnh AB. Tổng chiều dài con đường đó ngắn nhất là bao nhiêu mét?