Một xưởng gia công cơ khí chính xác nhận hợp đồng sản xuất hai loại linh kiện là Trục thép (Loại $A$) và Bánh răng (Loại $B$). Để sản xuất một lô linh kiện loại $A$ cần chạy máy Phay CNC trong 2 giờ và máy Tiện CNC trong 4 giờ. Để sản xuất một lô linh kiện loại $B$ cần chạy máy Phay CNC trong 3 giờ và máy Tiện CNC trong 2 giờ. Do yêu cầu bảo trì, mỗi tuần máy Phay CNC chỉ hoạt động tối đa 120 giờ và máy Tiện CNC hoạt động tối đa 160 giờ. Biết mỗi lô linh kiện loại $A$ cho lợi nhuận 3 triệu đồng, mỗi lô linh kiện loại $B$ cho lợi nhuận 4 triệu đồng và xưởng luôn tiêu thụ hết số sản phẩm làm ra. Hỏi mỗi tuần xưởng cơ khí thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Nhân dịp tết Trung thu, xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: bánh nướng và bánh dẻo. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, bột mì, trứng, mứt bí, láp xưởng,... Xí nghiệp đã nhập về $600kg$ bột mì và $240kg$ đường, các nguyên liệu khác luôn đáp ứng được số lượng mà xí nghiệp cần. Mỗi chiếc bánh nướng cần $120g$ bột mì, $60g$ đường. Mỗi chiếc bánh dẻo cần $160g$ bột mì và $40g$ đường. Theo khảo sát thị trường, lượng bánh dẻo tiêu thụ không vượt quá ba lần lượng bánh nướng và sản phẩm của xí nghiệp sản xuất luôn được tiêu thụ hết. Mỗi chiếc bánh nướng lãi 8000 đồng, mỗi chiếc bánh dẻo lãi 6000 đồng. Hãy lập kế hoạch để xí nghiệp sản xuất bao nhiêu chiếc bánh nướng, bao nhiêu chiếc bánh dẻo để thu được lợi nhuận cao nhất.

Một công ty trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa cần thuê xe để chở không dưới 180 người và không dưới 16 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe $A$ và $B$. Trong đó xe loại $A$ có 20 chiếc, xe loại $B$ có 12 chiếc. Một chiếc xe loại $A$ cho thuê với giá 4 triệu đồng, loại $B$ giá 3,5 triệu đồng. Xe $A$ chỉ chở tối đa 15 người và 0,5 tấn hàng. Xe $B$ chỉ chở tối đa 10 người và 2 tấn hàng. Hỏi phải phải thuê mỗi loại bao nhiêu chiếc xe thì chi phí vận chuyển là thấp nhất?

Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 190 kg chất A và 13 kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 5 triệu đồng, có thể chiết xuất được 25 kg chất A và 0,5 kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 4 triệu đồng, có thể chiết xuất được 10 kg chất A và 2,5 kg chất B. Hỏi chi phí để mua nguyên liệu ít nhất bằng bao nhiêu? Biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 12 tấn nguyên liệu loại I và không quá 8 tấn nguyên liệu loại II.

Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (1 sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở trên 140 người và trên 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe $A$ và $B$. Trong đó xe loại $A$ có 10 chiếc, xe loại $B$ có 9 chiếc. Một chiếc xe loại $A$ cho thuê với giá 4 triệu, loại $B$ giá 3 triệu. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất. Biết rằng xe $A$ chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng. Xe $B$ chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng.

(1 điểm) Một cơ sở sản xuất cần sản xuất hai loại sản phẩm X và Y từ hai loại nguyên liệu I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm X cần 2 kg nguyên liệu I và 1 kg nguyên liệu II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm Y cần 1 kg nguyên liệu I và 3 kg nguyên liệu II. Biết rằng cơ sở hiện có tối đa 8 kg nguyên liệu I và 9 kg nguyên liệu II. Lợi nhuận thu được khi bán một đơn vị sản phẩm X là 2 triệu đồng, một đơn vị sản phẩm Y là 3 triệu đồng. Gọi x, y lần lượt là số đơn vị sản phẩm X và Y cần sản xuất để cơ sở đạt lợi nhuận lớn nhất. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức lợi nhuận $F(x;y)=2x+3y$ dựa trên miền nghiệm của hệ bất phương trình ràng buộc.

(1 điểm) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=y-x$ trên miền xác định bởi hệ $$\{\begin{array}{l}2x+y\le 2\\ x-y\le 2\\ 5x+y\ge -4\end{array}$$