Giả sử tổng chi phí sản xuất $x$ $(0\le x\le 50)$ đơn vị sản phẩm $A$ mỗi ngày tại một nhà máy được cho bởi công thức $C(x)=\frac{x^2}{4}+3x+400$ (nghìn đồng). Tìm mức sản lượng (đó là số lượng sản phẩm được sản xuất) để chi phí trung bình tính trên mỗi đơn vị sản phẩm là đạt cực tiểu.

Giả sử mỗi tuần chi phí sản xuất $x$ sản phẩm của một xưởng được mô hình hóa bằng biểu thức $P(x)=0,5x^2+x+23$ (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là $f(x)=\frac{P(x)}{x}$ (triệu đồng). Cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để chi phí trung bình thấp nhất?

Doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) được mô hình hoá bằng hàm số $f(t)=\frac{24000}{1+6e^{-t}}$ với $t\ge 0$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f^{\prime }(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tốc độ bán hàng lớn nhất đạt được khi $t=\ln a$. Tìm $a$.

Theo báo cáo của một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất $x{m}^3$ nước tinh khiết thì phải chi phí các khoản sau: 3 triệu đồng chi phí cố định; 0,15 triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; $0,0003x^2$ chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là $200m^3$. Gọi $C(x)$ là chi phí sản xuất $x{m}^3$ sản phẩm mỗi ngày và $\overline{c}(x)$ là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm. Khi đó:

Theo kế hoạch của một phân xưởng gia công chi tiết nhỏ, nếu mỗi ngày xưởng này sản xuất $x$ (sản phẩm) thì phải chi trả các khoản sau: 10 triệu đồng chi phí cố định (tiền thuê mặt bằng, điện nước cơ bản.); 0,05 triệu đồng cho mỗi sản phẩm (nguyên liệu, nhân công); và $0,001x^2$ triệu đồng chi phí xử lý rác thải và hao mòn máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của xưởng là 300 sản phẩm. Gọi $C(x)$ là tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm mỗi ngày và $\overline{C}(x)$ là chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm. Khi đó:

Hai khu dân cư $A$ và $B$ nằm ở hai bờ đối diện của một con sông rộng. Khu $A$ cách sông $6km$, khu $B$ cách sông $8km$. Chính quyền muốn xây dựng một cây cầu $PQ$ bắc ngang sông để thuận tiện đi lại. Biết rằng $QM+NP=30km$, và độ dài cây cầu $PQ$ là cố định. Hỏi đầu cây cầu Q cách thành phố $A$ là bao nhiêu $km$ để đường đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ là ngắn nhất (đi theo đường $AQPB$)? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Hai khu dân cư $A$ và $B$ nằm ở hai bờ đối diện của một con sông rộng. Khu $A$ cách sông $6km$, khu $B$ cách sông $8km$. Chính quyền muốn xây dựng một cây cầu $PQ$ bắc ngang sông để thuận tiện đi lại. Biết rằng $QM+NP=30km$, và độ dài cây cầu $PQ$ là cố định. Hỏi đầu cây cầu Q cách thành phố $A$ là bao nhiêu $km$ để đường đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ là ngắn nhất (đi theo đường $AQPB$)? *(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)*