Cho hàm số $y=f(x)=x+2+\frac{1}{x-1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=x+2+\frac{1}{x-1}$. a) Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(f(x)-(x+2)\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$, không phải $y=x-2$ → Sai. b) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff (x-1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=2$. $f(0)=1$, $f(2)=5$ nên $A(0;1)$, $B(2;5)$. Đường thẳng $AB$: $y=2x+1\iff 2x-y+1=0$. Khoảng cách từ $O(0;0)$: $d=\frac{|1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ → Đúng. c) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, nhưng hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ nên không thể nói nghịch biến trên toàn tập xác định (chỉ nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$) → Sai. d) Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2a: S, 2b: D, 2c: S, 2d: D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên là $y=x+2$ vì $f(x)-(x+2)=\frac{1}{x-1}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $A(0;1)$, $B(2;5)$, đường thẳng $AB$: $2x-y+1=0$, $d(O,AB)=\frac{1}{\sqrt{5}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }<0$ trên từng khoảng nhưng hàm gián đoạn tại $x=1$, nên không nghịch biến trên toàn tập xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.