Giả sử mỗi tuần chi phí sản xuất $x$ sản phẩm của một xưởng được mô hình hóa bằng biểu thức $P(x)=0,5x^2+x+23$ (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là $f(x)=\frac{P(x)}{x}$ (triệu đồng). Cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để chi phí trung bình thấp nhất?

Theo báo cáo của một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất $x{m}^3$ nước tinh khiết thì phải chi phí các khoản sau: 3 triệu đồng chi phí cố định; 0,15 triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; $0,0003x^2$ chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là $200m^3$. Gọi $C(x)$ là chi phí sản xuất $x{m}^3$ sản phẩm mỗi ngày và $\overline{c}(x)$ là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm. Khi đó:

Theo kế hoạch của một phân xưởng gia công chi tiết nhỏ, nếu mỗi ngày xưởng này sản xuất $x$ (sản phẩm) thì phải chi trả các khoản sau: 10 triệu đồng chi phí cố định (tiền thuê mặt bằng, điện nước cơ bản.); 0,05 triệu đồng cho mỗi sản phẩm (nguyên liệu, nhân công); và $0,001x^2$ triệu đồng chi phí xử lý rác thải và hao mòn máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của xưởng là 300 sản phẩm. Gọi $C(x)$ là tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm mỗi ngày và $\overline{C}(x)$ là chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm. Khi đó:

Hai khu dân cư $A$ và $B$ nằm ở hai bờ đối diện của một con sông rộng. Khu $A$ cách sông $6km$, khu $B$ cách sông $8km$. Chính quyền muốn xây dựng một cây cầu $PQ$ bắc ngang sông để thuận tiện đi lại. Biết rằng $QM+NP=30km$, và độ dài cây cầu $PQ$ là cố định. Hỏi đầu cây cầu Q cách thành phố $A$ là bao nhiêu $km$ để đường đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ là ngắn nhất (đi theo đường $AQPB$)? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Hai khu dân cư $A$ và $B$ nằm ở hai bờ đối diện của một con sông rộng. Khu $A$ cách sông $6km$, khu $B$ cách sông $8km$. Chính quyền muốn xây dựng một cây cầu $PQ$ bắc ngang sông để thuận tiện đi lại. Biết rằng $QM+NP=30km$, và độ dài cây cầu $PQ$ là cố định. Hỏi đầu cây cầu Q cách thành phố $A$ là bao nhiêu $km$ để đường đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ là ngắn nhất (đi theo đường $AQPB$)? *(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)*

Câu 2 (3,50 điểm):
a) Cho hàm số $y=2(1+m)x^3-3(m+1)x^2+x+\frac{m}{2}-1$ (1), (với $m$ là tham số). Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng với mọi $m$.
b) Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn:
$$e^{x-3y}+e^{1-xy}+x(1-y)+1=e^{xy-1}+\frac{1}{e^{x-3y}}+3y,\text{(với }x\ge 0).$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=x-2y+3$.

Một chiếc buýt có sức chứa tối đa 50 hành khách. Nếu một chuyến xe buýt chở $x$ hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là $20{\left(3-\frac{x}{40}\right)}^2$ (nghìn đồng). Hỏi để thu được số tiền nhiều nhất thì một chuyến xe buýt cần chở bao nhiêu khách?