Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;3)$, $B(1;3;2)$, $C(3;1;2)$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $O{M}^2$ (làm tròn đến hàng phần trăm)

Trong cảnh dụng phim có một ngôi nhà, mái nhà là hình chóp tứ giác đều $SABCD$ có chiều cao 2 mét. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị đo trên các trục bằng mét) với các điểm ở đáy là $A(6;4;2)$, $B(6;6;2)$, $C(4;6;2)$ và $D(4;4;2)$, trong đó S là đỉnh của mái nhà

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho 3 điểm $A(5;-2;0),B(4;5;-2)$ và $C(0;3;2)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $Q=2\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $a+b$.

Trong không gian $Oxyz$, điểm đối xứng với điểm $A(3;2;1)$ qua trục $Ox$ có tọa độ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(5;0;-7),B(1;-2;-1),C(6;-5;-2)$. Xét tính đúng - sai của các khẳng định sau

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 7. Chọn hệ trục $Oxyz$ có gốc tọa độ $O$ trùng với điểm $A$; các điểm $B,D,A^{\prime }$ lần lượt nằm trên các tia $Ox,Oy,Oz$. Gọi $F$ là trung điểm của cạnh $A{C}^{\prime }$. Tung độ của vectơ $\overrightarrow{FD}$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian Oxyz cho các vectơ $\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\vec{b}=(b_1;b_2;b_3)$ và số thực $k$. Chọn khẳng định sai?