Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho 3 điểm $A(5;-2;0),B(4;5;-2)$ và $C(0;3;2)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $Q=2\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(t;0;0)$. Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(9;6;0)$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{OM}-(9;6;0)=(3t-9;-6;0)$, suy ra $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\sqrt{(3t-9{)}^2+36}=3\sqrt{(t-3{)}^2+4}$.

Tương tự $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(4;8;0)$ nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(2t-4;-8;0)$, suy ra $\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\sqrt{(2t-4{)}^2+64}=2\sqrt{(t-2{)}^2+16}$.

Vậy $Q=6\left(\sqrt{(t-3{)}^2+4}+\sqrt{(t-2{)}^2+16}\right)$.

Xét $f(t)=\sqrt{(t-3{)}^2+4}+\sqrt{(t-2{)}^2+16}$: đây là tổng khoảng cách từ điểm $(t;0)$ trên trục hoành đến hai điểm $P(3;2)$ và $R(2;4)$ (cùng phía trên trục $Ox$). Lấy $P^{\prime }(3;-2)$ đối xứng với $P$ qua trục $Ox$, khi đó $f(t)\ge P^{\prime }R=\sqrt{(3-2{)}^2+(-2-4{)}^2}=\sqrt{37}$, dấu bằng khi $t$ là hoành độ giao điểm của $P^{\prime }R$ với trục $Ox$ (tức $t=8/3$).

Do đó $Q_{\min }=6\sqrt{37}$, tức $a=6$, $b=37$ (nguyên tố), $a+b=43$.