Một tấm kính làm mặt bàn (H1) có hình dạng tam giác đều với 3 đỉnh được làm cong (H2). Biết cạnh tấm kính tam giác ban đầu bằng 12(dm). Để cắt góc bàn được đẹp thì người ta cắt theo đường cong là đường Parabol (P): $y=-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+5\sqrt{3}$ (H3) có hai nhánh tiếp giáp với hai cạnh của tam giác (H4)

H1 — H2 — H3 — H4
Diện tích mặt kính làm mặt bàn (H1) bằng $S(d{m}^2)$. Tính $S$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: đáy tam giác đều cạnh 12 nằm trên trục Ox từ $x=-6$ đến $x=6$, đỉnh trên tại $(0;6\sqrt{3})$. Hai cạnh bên có phương trình $y=\sqrt{3}(x+6)$ (trái) và $y=-\sqrt{3}x+6\sqrt{3}$ (phải).

Parabol $(P):y=-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+5\sqrt{3}$ tiếp xúc cạnh phải: $-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+5\sqrt{3}=-\sqrt{3}x+6\sqrt{3}\iff x^2-4x+4=0\iff x=2$ (nghiệm kép), tiếp điểm $(2;4\sqrt{3})$. Tương tự tiếp xúc cạnh trái tại $(-2;4\sqrt{3})$.

Diện tích bị cắt ở đỉnh trên (phần trong tam giác nằm phía trên parabol, giữa $x=-2$ và $x=2$):
$$A=2{\int }_0^2\left[(-\sqrt{3}x+6\sqrt{3})-\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+5\sqrt{3}\right)\right]dx=2\sqrt{3}{\int }_0^2\left(1-x+\frac{x^2}{4}\right)dx=2\sqrt{3}\left(2-2+\frac{2}{3}\right)=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

Do tính đối xứng, ba đỉnh được cắt cong như nhau nên tổng diện tích bị cắt là $3\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$.

Diện tích tam giác đều cạnh 12 là $\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}$.

Vậy $S=36\sqrt{3}-4\sqrt{3}=32\sqrt{3}\approx 55,4256\approx 55,4(d{m}^2)$, khớp với đáp án 55.4.