Cho hàm số $f(x)$ là hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau:



Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau.

a) Hai điểm cực trị $A(1;3),B(2;-2)\Rightarrow AB=\sqrt{26}$. Vậy a) Đúng.

b) Ta có $g^{\prime }(x)=-2.f^{\prime }(1-2x)=0\iff \left[\begin{array}{c}1-2x=1\\ 1-2x=2\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}\right]$. Bảng xét dấu của $g^{\prime }(x)$ cho thấy $g^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $\left(-\frac{1}{2};0\right)$. Vậy b) Sai.

c) Đồ thị hàm số $h(x)$ có tổng số đường tiệm cận là 6 (1 tiệm cận ngang $y=0$, 3 tiệm cận đứng từ $f(x)=2$ và 2 tiệm cận đứng từ $f(x)=-2$ với $x=2$ là nghiệm bội hai). Vậy c) Sai.

d) BPT $g(x)\ge x^2+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in [0;1]\iff m\le f(-1)-1=-138$; với $m\in [-2025;2025]$ có 1888 giá trị nguyên thỏa mãn. Vậy d) đúng.
a) Hai điểm cực trị $A(1;3),B(2;-2)\Rightarrow AB=\sqrt{26}$. Vậy a) Đúng.
b) Ta có $g^{\prime }(x)=-2.f^{\prime }(1-2x)=0\iff \left[\begin{array}{c}1-2x=1\\ 1-2x=2\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}\right]$. Ta có bảng xét dấu của $g^{\prime }(x)$: Vậy b) Sai.
c) Ta có: $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x-2}{f^2(x)-4}=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang. Xét phương trình $f^2(x)-4=0\iff \left[\begin{array}{c}f(x)=2\\ f(x)=-2\end{array}\right]$. Dựa vào đồ thị ta có $f(x)=2\iff \left[\begin{array}{c}x=a<1\\ x=b(1<b<2)\\ x=c>2\end{array}\right]$, nên đồ thị $h(x)$ có 3 đường tiệm cận đứng. $f(x)=-2\iff \left[\begin{array}{c}x=d<1\\ x=2\end{array}\right]$, do $x=2$ là nghiệm bội hai nên đồ thị $h(x)$ có hai đường tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số $h(x)$ có tổng số đường tiệm cận là 6. (ta có thể tìm hàm số $y=f(x)$ và từ đó suy ra số các đường tiệm cận). Vậy c) Sai.
d) BPT $g(x)\ge x^2+m\iff g(x)-x^2\ge m$. Đặt $k(x)=g(x)-x^2\Rightarrow k^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)-2x$. $k(x)\ge m\forall x\in [0;1]\iff m\le \min k(x)\iff m\le k(1)\iff m\le f(-1)-1$. Theo bài ra, ta tìm được $f(x)=10x^3-45x^2+60x-22$, suy ra $m\le f(-1)-1\iff m\le -138$. Mà $m\in [-2025;2025]$ nên có 1888 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn. Vậy d) đúng.