Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1+t\\ z=3\end{array}$ và ${\Delta }^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=1+2t^{\prime }\\ y=-2+2t^{\prime }\\ z=4+t^{\prime }\end{array}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :   và điểm
2 1 -1
M 2; -2; 5 . Điểm N a; b; c  thuộc đường thẳng  và độ dài MN nhỏ nhất. Tổng a  b  c
bằng

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(2;-4;-1)$ tới đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{rl}& x=t\\ & y=2-t\\ & z=3+2t\end{array}$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các cạnh $AB=A{A}^{\prime }=2a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và $AC=a$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $B^{\prime }C$.

Cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1-2t\\ z=2+t\end{array}$. Đường thẳng vuông góc chung của $d_1,d_2$ có một vectơ chỉ phương là

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-9}{-1}$, $d_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+5}{1}$. Góc giữa hai đường thẳng đó bằng

Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu có kích thước nhỏ ($42\times 42\text{ cm}$) trong không gian $Oxyz$ (giả sử $\vec{i}=\vec{j}=\vec{k}=1\text{ cm}$). Cho biết vận động viên đó sử dụng thước ngắm 3 và đứng cách xa bia mục tiêu là $100\text{ m}$, trục $d$ của nòng súng và cọc đỡ bia $d^{\prime }$ lần lượt có phương trình $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2\\ z=4\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=1+3t^{\prime }\end{array}$. Để bắn trúng hồng tâm (thang điểm 10) thì vận động viên phải ngắm bắn vào điểm $N(a;b;c)\in d^{\prime }$ và cách giao điểm của $d$ và $d^{\prime }$ một khoảng $6\text{ cm}$. Khi $c<0$, tính giá trị biểu thức $2a-b+3c$.