Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=x^2$ và $y=x$ là

Bác Hưng có một mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ được quy hoạch như hình bên. Biết đường cong là đường hình sin của hàm số dạng $y=a\sin (bx)$. Biết $AB=2\pi$ (m), và $AD=4$ (m). Phần tô đậm (giới hạn bởi đường cong và đoạn $MN$) được sử dụng để trồng hoa. Tính diện tích phần còn lại của mảnh vườn. (Đơn vị m${}^2$, làm tròn đến hàng phần chục)

Nếu ${\int }_0^{2}f(x)dx=4$ thì ${\int }_0^2\left[\frac{1}{2}f(x)-2\right]dx$ bằng

Tích phân ${\int }_1^2\left(\frac{1}{x}+2\right)dx$ bằng

Cho hàm số bậc bốn $y=x^4-4x^2+1$ và parabol $y=x^2-k$, với $k\in \mathbb{R}$ có đồ thị như hình bên. Gọi $S_1,S_2,S_3$ lần lượt là diện tích của phần hình phẳng được tô đậm tương ứng trong hình vẽ. Khi $S_1+S_3=S_2$ thì $k$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;1]$ thoả mãn $f^2(x)-xf(x)f^{\prime }(x)=2x+4,\forall x\in [0;1]$. Biết $f(1)=3$. Tích phân ${\int }_0^1{f}^2(x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}1+x\sqrt{x^2+1}& \text{khi }x>0\\ \cos x& \text{khi }x\le 0\end{array}$. Biết ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{1}f(x)dx=a+b\sqrt{2}$ ($a,b$ là các số hữu tỉ). Giá trị của $a-b$ bằng