Đề Cuối Học Kỳ 2 Toán 12 2025-2026 THPT Nguyễn Thiện Thuật - Khánh Hòa (Mã Đề 1036)

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;-3;6)$ và nhận $\vec{u}=(2;1;-5)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là

Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1+t\\ z=3\end{array}$ và ${\Delta }^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=1+2t^{\prime }\\ y=-2+2t^{\prime }\\ z=4+t^{\prime }\end{array}$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):(x+2{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=3$ có tâm là

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(a,b,c)$; mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{u}=(A,B,C)$. Công thức nào sau đây để tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$, $k$ là hằng số. Khẳng định nào sau đây là **sai**?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=x^2$ và $y=x$ là

Cho hệ đầy đủ hai biến cố $B$ và $\overline{B}$. Với một biến cố $A$ bất kỳ, công thức xác suất toàn phần nào sau đây là đúng?

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):x+2y-5z+6=0$ có một vectơ pháp tuyến là

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=3-5t\\ z=2\end{array}$ đi qua điểm nào sau đây?

Cho hai biến cố $A$ và $B$. Công thức nào sau đây là công thức đúng xác suất của biến cố $A$ với điều kiện $B$?

Cho hai biến cố $A$ và $B$ thỏa mãn $P(A)=0,7$, $P(B)=0,8$ và $P(A\cap B)=0,28$. Tính xác suất có điều kiện $P(B|A)$.

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=36^x$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng: $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1+t\\ z=3-t\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$ và $d_2:\frac{x-3}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}$.

Cho hình vẽ bên dưới. Hình phẳng $(H)$ là hình được bôi màu trong hình vẽ.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$ và mặt phẳng $(P):x+2y+2z+3=0$.

Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có $12$ con thỏ trắng và $13$ con thỏ nâu. Chuồng II có $14$ con thỏ trắng và $11$ con thỏ nâu. Tung một con xúc xắc cân đối. Nếu xuất hiện mặt $6$ chấm thì ta chọn chuồng I, nếu trái lại (xuất hiện mặt khác $6$ chấm) ta chọn chuồng II. Từ chuồng đã chọn, bắt ngẫu nhiên một con thỏ. Gọi $A$ là biến cố: “Chọn được chuồng II”, $B$ là biến cố “Bắt được con thỏ trắng”.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxy)$ được xem là mặt phẳng mặt đất. Một tấm liếp tre phơi bánh tráng được mô phỏng bởi đoạn thẳng $AB$ có chiều dài $3$. Đặt đầu $B$ chạm đất tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$. Bóng của tấm liếp trên mặt đất là đoạn $BC$, với điểm $C$ nằm trên phần dương của trục $Ox$ và có tọa độ $C(3,6;0;0)$. Biết điểm $A$ nằm trong mặt phẳng $(Oxz)$ và có cao độ dương. Góc giữa tấm liếp $AB$ và mặt đất bằng $60^{\circ }$, đồng thời $\widehat{ABC}=120^{\circ }$. Giả sử tia sáng mặt trời chiếu dọc theo đường thẳng $AC$, hãy tính góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất tại thời điểm đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Bạn An có bức tường hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $4\text{ (m)}$ (tham khảo hình vẽ). An dự định chia bức tường thành hai phần để sơn: Phần $1$ sơn màu xanh da trời, kí hiệu là hình phẳng $(\mathcal{H})$, phần $2$ sơn màu vàng. Biết rằng hình phẳng $(\mathcal{H})$ là tập hợp tất cả các điểm $M$ nằm bên trong hình vuông, đồng thời thỏa mãn $d(M;AB)\le ME+1$ (đơn vị là mét), với $E$ là trung điểm của $DC$. Biết rằng mỗi hộp sơn các màu chỉ sơn được $3{\text{ m}}^2$ tường, đồng thời giá của hộp sơn màu xanh da trời là $100.000$ đồng/hộp, hộp sơn màu vàng là $120.000$ đồng/hộp. Tính giá tiền bạn An mua sơn để sơn bức tường này? (đơn vị là nghìn đồng và cửa hàng sơn chỉ bán số nguyên của hộp).

Danh sách một lớp đại học Quốc Gia có $95$ sinh viên gồm $40$ nam và $55$ nữ. Có $23$ sinh viên quốc tịch nước ngoài (trong đó có $12$ nam và $11$ nữ), số sinh viên còn lại có quốc tịch Việt Nam. Gọi tên ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp đó lên bảng. Tính xác suất sinh viên gọi tên có quốc tịch nước ngoài, biết rằng sinh viên đó là nữ? (kết quả viết dưới dạng số thập phân).

Tại khu bảo tồn biển Hòn Mun, Viện Hải dương học thiết lập một trạm nghiên cứu ngầm mang hình dáng một khối cầu bảo vệ $(S)$. Trong hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị: chục mét), mặt cầu $(S)$ có phương trình: $(S):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=9$. Hai trạm thu phát tín hiệu phụ được neo cố định dưới đáy biển tại các vị trí $A(7;7;7)$ và $B(4;4;1)$. Để kết nối mạng lưới, các kỹ sư cần khoan một cổng kết nối cáp quang tại vị trí $M$ nằm trên bề mặt khối cầu bảo vệ $(S)$ để kéo cáp đến $A$ và $B$. Do yêu cầu về băng thông của trạm $B$ cao gấp đôi trạm $A$, nên tổng chi phí lắp đặt và độ suy hao tín hiệu $P$ được mô hình hóa theo công thức: $P=M{A}^2+2M{B}^2$. Tính giá trị nhỏ nhất của $P$.

Một tổ được chia làm $2$ nhóm nhỏ để làm bài tập. Nhóm thứ nhất làm $7$ bài tập đại số và $3$ bài tập hình học. Nhóm thứ hai làm $6$ bài tập đại số và $4$ bài tập hình học. Tổ trưởng chọn ngẫu nhiên $2$ bài từ nhóm thứ nhất và $3$ bài từ nhóm thứ hai, trong số $5$ bài được chọn đó lại lấy ngẫu nhiên tiếp $2$ bài. Tính xác suất để trong $2$ bài được chọn cuối cùng đó có ít nhất một bài đại số (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong hệ thống quản lý bay tại sân bay Cam Ranh (Nha Trang), người ta thiết lập hệ thống tọa độ $Oxyz$ với $O$ là trạm kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (coi như mặt phẳng). Đơn vị đo trên các trục là km.

Một chiếc máy bay thương mại $M_1$ đang bay theo lộ trình là đường thẳng $d_1$ đi qua điểm $A(2;4;10)$ và có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_1=(1;1;-0,5)$. Cùng lúc đó, một máy bay không người lái (drone) giám sát $M_2$ đang bay trên đường thẳng $d_2$ đi qua điểm $B(5;-1;12)$ và có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_2=(0;1;0,2)$. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai máy bay trong quá trình di chuyển để đảm bảo an toàn hàng không (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).