Nếu ${\int }_0^{2}f(x)dx=4$ thì ${\int }_0^2\left[\frac{1}{2}f(x)-2\right]dx$ bằng

Tích phân ${\int }_1^2\left(\frac{1}{x}+2\right)dx$ bằng

Cho hàm số bậc bốn $y=x^4-4x^2+1$ và parabol $y=x^2-k$, với $k\in \mathbb{R}$ có đồ thị như hình bên. Gọi $S_1,S_2,S_3$ lần lượt là diện tích của phần hình phẳng được tô đậm tương ứng trong hình vẽ. Khi $S_1+S_3=S_2$ thì $k$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;1]$ thoả mãn $f^2(x)-xf(x)f^{\prime }(x)=2x+4,\forall x\in [0;1]$. Biết $f(1)=3$. Tích phân ${\int }_0^1{f}^2(x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}1+x\sqrt{x^2+1}& \text{khi }x>0\\ \cos x& \text{khi }x\le 0\end{array}$. Biết ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{1}f(x)dx=a+b\sqrt{2}$ ($a,b$ là các số hữu tỉ). Giá trị của $a-b$ bằng

Giá trị của $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\sin x+1)dx$ bằng

Cho ${\int }_1^{2}f(x)dx=2$, ${\int }_2^{3}f(x)dx=-5$. Giá trị của $I={\int }_1^{3}f(x)dx$ bằng