Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(\alpha ):ax+by+cz+5=0$ đi qua $A(1;2;1)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(P):x+y-z+1=0$ và $(Q):2x+y+z-3=0$. Tính giá trị $a+b+c$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ vuông góc với cả ${\vec{n}}_P=(1;1;-1)$ và ${\vec{n}}_Q=(2;1;1)$, nên $\vec{n}={\vec{n}}_P\times {\vec{n}}_Q=(1\cdot 1-(-1)\cdot 1;(-1)\cdot 2-1\cdot 1;1\cdot 1-1\cdot 2)=(2;-3;-1)$. Vậy $a:b:c=2:-3:-1$. Mặt phẳng đi qua $A(1;2;1)$: $2\cdot 1-3\cdot 2-1\cdot 1+d=0\Rightarrow d=5$, khớp với hệ số tự do 5 đã cho. Do đó $a+b+c=2+(-3)+(-1)=-2$, trùng với đáp án nguồn.