Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y-z-8=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{-1}$. Đường thẳng $\Delta$ cắt $(P)$ và $d$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}=\vec{0}$ với $P(-1;2;-2)$. Tính $PA+PB$.

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{1}$ cắt mặt phẳng $(P):2x-3y+z-2=0$ tại điểm $I(a;b;c)$. Khi đó $a+b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y-7}{-2}=\frac{z-7}{1}$, mặt phẳng $(P):2x-2y+z-19=0$ và hai điểm $A(7;1;4),B(-5;1;-2)$. Điểm $M$ di chuyển trên mặt phẳng $(P)$ sao cho góc $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ và khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$ là nhỏ nhất. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;-1;3)$, mặt phẳng $(P)$ chứa $A$ và chứa trục $Ox$. Đường thẳng qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(4;1;3)$ và $(P):x-2y+3z-1=0$. Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $(P):x+2y+2z-6=0$. Phương trình đường thẳng $d$ nằm trong $(P)$ sao cho $d$ cắt, đồng thời vuông góc với $\Delta$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;1;-2)$ và mặt phẳng $(P):2x-3y+z-4=0$. Đường thẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là