Cho một hình nón đỉnh $S$ có chiều cao bằng $4a$, bán kính đáy bằng $2a$. Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng vuông góc với trục ta được một hình nón $(N)$ đỉnh $S$ có đường sinh bằng $a$. Tính thể tích của khối nón $(N)$.

Đường sinh của hình nón ban đầu là $L=\sqrt{h^2+R^2}=\sqrt{(4a{)}^2+(2a{)}^2}=2a\sqrt{5}$. Thể tích của hình nón ban đầu là $V_0=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi (2a{)}^2(4a)=\frac{16\pi a^3}{3}$. Vì hình nón $(N)$ đồng dạng với hình nón ban đầu theo tỉ số $k=\frac{l}{L}=\frac{a}{2a\sqrt{5}}=\frac{1}{2\sqrt{5}}$, nên tỉ số thể tích là $\frac{V}{V_0}=k^3={\left(\frac{1}{2\sqrt{5}}\right)}^3=\frac{1}{40\sqrt{5}}$. Do đó $V=\frac{1}{40\sqrt{5}}\cdot \frac{16\pi a^3}{3}=\frac{2\pi a^3}{15\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}\pi a^3}{75}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.