Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):ax+by+cz+10=0$. Biết mặt phẳng $(\alpha )$ chứa hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=2+2t\\ z=-t\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=-1+2t^{\prime }\\ y=4+2t^{\prime }\\ z=-1-t\end{array}$. Khi đó $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):2x-y+z-2=0$. Điểm nào sau đây thuộc $(\alpha )$?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(2;2;1)$ và có một vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(5;2;-3)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là

Trong không gian $Oxyz$, một nhóm kỹ sư thiết kế một mái che năng lượng mặt trời cho bãi đỗ xe. Mái che được thiết kế nằm trên mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $M(2;1;3)$ và song song với mặt phẳng $(\beta ):x-2y+2z-5=0$. Để kiểm tra chất lượng thi công, một flycam được điều khiển bay lơ lửng tại vị trí $K(4;-3;8)$ (đơn vị trên các trục tọa độ tính bằng mét).
Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(5;-4;2)$ và $B(1;2;4)$. Viết phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$.

Trong không gian $Oxyz$, một hệ thống an ninh sử dụng tia laser được thiết lập. Một chùm tia laser phát ra từ bộ phát đặt tại $A(1;2;2)$, chiếu tới một tấm gương phẳng có phương trình $(P):x+y+z+1=0$ tại điểm $M$, sau đó phản xạ và đi trúng bộ thu đặt tại điểm $B(-1;1;4)$. Tính độ dài chính xác quãng đường tia laser đã đi từ $A$ đến $B$ qua $M$ (đơn vị độ dài).

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), mặt phẳng $(Oxy)$ biểu diễn mặt đất. Một tấm pin năng lượng mặt trời phẳng có dạng tam giác $ABC$ được lắp đặt sao cho hai đỉnh $A(2;0;0)$ và $B(0;4;0)$ nằm cố định trên mặt đất, đỉnh $C$ được chống cao lên khỏi mặt đất bởi một cột đỡ thẳng đứng $OC$ (tức là $C$ nằm trên phần dương của trục $Oz$). Để tấm pin đạt hiệu suất hấp thụ quang năng tốt nhất, kỹ sư đã điều chỉnh cột đỡ sao cho góc nghiêng của tấm pin (góc giữa mặt phẳng chứa tấm pin và mặt đất) là $45^{\circ }$. Diện tích bề mặt của tấm pin năng lượng mặt trời đó là $a\sqrt{b}{m}^2.\left(a,b\in \mathbb{N};b\le 3\right)$ Hỏi giá trị $a+b$ bằng bao nhiêu?