Trong không gian $Oxyz$, một nhóm kỹ sư thiết kế một mái che năng lượng mặt trời cho bãi đỗ xe. Mái che được thiết kế nằm trên mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $M(2;1;3)$ và song song với mặt phẳng $(\beta ):x-2y+2z-5=0$. Để kiểm tra chất lượng thi công, một flycam được điều khiển bay lơ lửng tại vị trí $K(4;-3;8)$ (đơn vị trên các trục tọa độ tính bằng mét).
Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\beta ):x-2y+2z-5=0$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_{\beta }=(1;-2;2)$. Vì $(\alpha )\parallel (\beta )$ nên $(\alpha )$ cũng có pháp tuyến $(1;-2;2)$, đi qua $M(2;1;3)$: $2-2+6+d=0\Rightarrow d=-6$, vậy $(\alpha ):x-2y+2z-6=0$. Khoảng cách từ $K(4;-3;8)$ đến $(\alpha )$: $d=\frac{|4+6+16-6|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{20}{3}\approx 6,67$ m. Mặt phẳng $(\gamma )$ qua $O$ và $K$ có pháp tuyến vuông góc với $\overrightarrow{OK}=(4;-3;8)$ và vuông góc với ${\vec{n}}_{\alpha }=(1;-2;2)$: ${\vec{n}}_{\gamma }={\vec{n}}_{\alpha }\times \overrightarrow{OK}=(-10;0;5)$, suy ra $(\gamma ):-10x+5z=0\iff 2x-z=0$, không phải $2x+z=0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(\alpha )$ phải cùng phương với $(1;-2;2)$ của $(\beta )$, không phải $(1;-2;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\alpha )$ song song $(\beta )$ nên có dạng $x-2y+2z+d=0$; thay $M(2;1;3)$: $2-2+6+d=0\Rightarrow d=-6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(K,(\alpha ))=\frac{|4+6+16-6|}{3}=\frac{20}{3}\approx 6,67$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_{\gamma }={\vec{n}}_{\alpha }\times \overrightarrow{OK}=(-10;0;5)$ nên $(\gamma ):2x-z=0$, không phải $2x+z=0$.