Tốc độ phát triển của một quần thể vi khuẩn được mô hình hóa bởi hàm số $v(t)=-3t^2+30t$ (nghìn con/giờ), với $t$ là thời gian tính bằng giờ $(0\le t\le 10)$. Hỏi sau 10 giờ đầu tiên, số lượng vi khuẩn đã tăng thêm bao nhiêu nghìn con?

Một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng có mức giá như nhau và có tổng doanh thu trong một tháng là $T(x)$ (triệu đồng). Người chủ muốn tăng giá cho thuê của mỗi gian hàng mỗi tháng thêm $x$ (triệu đồng, $x\ge 0$) thì tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số $T^{\prime }(x)=-20x+300$, (trong đó $T^{\prime }(x)$ tính bằng triệu đồng/tháng). Biết rằng nếu giá thuê tăng mỗi tháng thêm 10 triệu đồng thì tổng doanh thu mỗi tháng là 12000 (triệu đồng). Tìm giá trị của $x$ để doanh thu cao nhất.

Tại một nhà máy, gọi $C(x)$ là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất $x$ tấn sản phẩm B trong một tháng. Khi đó, đạo hàm $C^{\prime }(x)$, gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức $C^{\prime }(x)=8-0,13x+0,00022x^2$ với $0\le x\le 88$. Biết rằng $C(0)=24$ triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí (tính theo triệu đồng) khi nhà máy sản xuất 84 tấn sản phẩm B trong một tháng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Tại một nhà máy, gọi $C(x)$ là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất $x$ tấn sản phẩm B trong một tháng. Khi đó, đạo hàm $C^{\prime }(x)$, gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức $C^{\prime }(x)=8-0,13x+0,00022x^2$ với $0\le x\le 88$. Biết rằng $C(0)=24$ triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí (tính theo triệu đồng) khi nhà máy sản xuất 82 tấn sản phẩm B trong một tháng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\prime }\left(x\right)=-0,0008x+10,4$. Ở đây $P\left(x\right)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm. Tìm lợi nhuận khi bán được 100 sản phẩm đầu tiên (đơn vị: triệu đồng).

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\prime }(x)=-0,0008x+10,4$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm. Tìm lợi nhuận khi bán được 100 sản phẩm đầu tiên (đơn vị: triệu đồng).

Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 100 ngày. Gọi $M(t)$ là số ngày công được tính đến hết ngày thứ $t$ (kể từ khi khởi công công trình). Biết trong kinh tế xây dựng $M^{\prime }(t)=m(t)$ là số lượng công nhân được sử dụng tại ngày thứ $t$, giả sử $m(t)=100+12\sqrt{t}-2t$ (với $0\le t\le 100$). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: