Một chiếc cổng có dạng là một parabol $(P)$ có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng chiều rộng của cổng và bằng $4m$. Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật $CDEF$, phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1.000.000 đồng/$m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol có đỉnh $(0;4)$ và cắt trục hoành tại $x=\pm 2$ nên $y=f(x)=-x^2+4$.

a) Sai: phát biểu $y=-x^2-4$ có đỉnh $(0;-4)$, không khớp hình vẽ; đúng là $y=-x^2+4$.

b) Sai: với $CD=3$, giao điểm parabol với $y=3$: $3=-x^2+4\Rightarrow x=\pm 1$, nên $CF=2$ m, không phải $2\sqrt{2}$ m.

c) Đúng: diện tích dưới parabol ${\int }_{-2}^2(-x^2+4)dx={\left[-\frac{x^3}{3}+4x\right]}_{-2}^2=\frac{32}{3}$. Diện tích hình chữ nhật $CDEF=2\cdot 3=6$. Diện tích tô đậm $=\frac{32}{3}-6=\frac{14}{3}{m}^2$, chi phí $=\frac{14}{3}$ triệu đồng.

d) Sai: với chiều cao cửa $h\in (0;4)$, chiều rộng $2\sqrt{4-h}$, diện tích tô đậm $S(h)=\frac{32}{3}-2h\sqrt{4-h}$. Đặt $g(h)=h\sqrt{4-h}$, $g^{\prime }(h)=\sqrt{4-h}-\frac{h}{2\sqrt{4-h}}=0\Rightarrow h=\frac{8}{3}$, $g_{max}=\frac{8}{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{16}{3\sqrt{3}}$. Suy ra $S_{min}=\frac{32}{3}-\frac{32}{3\sqrt{3}}=\frac{32}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 4,508$ triệu đồng $\approx 4,508.000$ đồng $\ne 4,608.000$ đồng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có đỉnh $(0;4)$, đi qua $(\pm 2;0)$ nên $y=-x^2+4$, không phải $y=-x^2-4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=3$: $3=-x^2+4\Rightarrow x=\pm 1$, chiều rộng cửa $CF=2$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tô đậm $=\frac{32}{3}-6=\frac{14}{3}{m}^2$, chi phí $\frac{14}{3}$ triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S(h)=\frac{32}{3}-2h\sqrt{4-h}$ đạt min tại $h=\frac{8}{3}$, $S_{min}=\frac{32}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 4,508$ triệu đồng, không phải 4.608.000 đồng.